Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2011

Question

Rubens dirige seu carro com velocidade constante. Ele presta muita atenção nas placas da estrada que indicam a distância, em quilômetros, à cidade de Paraqui. Na primeira placa ele vê um número de três algarismos com um zero no meio. Quarenta e cinco minutos depois, ele passa por uma segunda placa e vê um número de dois algarismos, formado pelos mesmos algarismos da primeira placa em ordem inversa e sem o zero. Passados mais quarenta e cinco minutos, ele vê uma terceira placa com um número formado pelos mesmos dois algarismos da segunda placa. Qual é a velocidade do Rubens, em quilômetros por hora?

A
60
B
70
C
80
D
90
E
100

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

Rubens dirige seu carro com velocidade constante. Ele presta muita atenção nas placas da estrada que indicam a distância, em quilômetros, à cidade de Paraqui. Na primeira placa ele vê um número de três algarismos com um zero no meio. Quarenta e cinco minutos depois, ele passa por uma segunda placa e vê um número de dois algarismos, formado pelos mesmos algarismos da primeira placa em ordem inversa e sem o zero. Passados mais quarenta e cinco minutos, ele vê uma terceira placa com um número formado pelos mesmos dois algarismos da segunda placa. Qual é a velocidade do Rubens, em quilômetros por hora?

A
60
B
70
C
80
D
90
E
100

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Solução oficial da OBMEP

As placas que Rubens encontrou podem ser escritas, em ordem, como a0b, ba e ab, sendo a e b algarismos de 1 a 9. Esses números são, nessa ordem, 100a + b, 10b + a e 10a + b. Como a velocidade de Rubens é constante, temos (100a + b) - (10b + a) = (10b + a) - (10a + b), ou seja, 108a = 18b ou, ainda, 6a = b. Como a e b são inteiros de 1 a 9, a única possibilidade é a = 1 e b = 6. Logo Rubens percorreu 106 - 61 = 61 - 16 = 45\text{ km} em 45 minutos, ou seja, à velocidade de 1\text{ km/min}. Assim, sua velocidade era de 60\text{ km/h}.

Uma segunda solução é a seguinte. Como antes, as placas que Rubens encontrou foram, em ordem, 100a + b, 10b + a e 10a + b. A distância percorrida por Rubens entre a primeira e a terceira placa foi (100a + b) - (10a + b) = 90a. Se a \ge 2, o número da terceira placa é maior ou igual a 20 e a distância entre a segunda e terceira placa é maior ou igual a 90. Logo, o número da segunda placa deve ser maior ou igual a 20 + 90 = 110, o que não acontece pois ele é um número de dois algarismos. Logo a = 1 e Rubens percorreu 90 quilômetros em 90 minutos, ou seja, sua velocidade, em quilômetros por hora, é 90 \div 1{,}5 = 60\text{ km/h}.

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Resolução comentada

Chame de a0b o número da primeira placa, com a e b algarismos. A segunda placa mostra ba, ou seja, 10b+a. A terceira mostra um número com os mesmos dois algarismos da segunda: ab, ou seja, 10a+b.

Como a velocidade é constante e os intervalos de tempo são iguais (45 min), as distâncias percorridas nos dois intervalos são iguais. Logo, os números das placas formam uma progressão aritmética:

(100a+b)-(10b+a)=(10b+a)-(10a+b)

Lado esquerdo: 99a-9b.
Lado direito: 9b-9a.
Igualando: 99a-9b=9b-9a, ou seja, 108a=18b, logo b=6a.

Como b é algarismo e a\neq 0, só serve a=1 e b=6.

As placas são 106, 61 e 16.

Em 45 min ele percorre 106-61=45 km. Conferindo: 61-16=45 km. Confere.

A velocidade é:

v=\frac{45\ \text{km}}{0{,}75\ \text{h}}=60\ \text{km/h}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhuma distância possível; 70\cdot 0{,}75 não bate com as placas 106, 61 e 16.
C80\cdot0{,}75=60 km não é a diferença entre as placas 106 e 61.
DDaria 67,5 km em 45 min, valor que não aparece nas placas.
EDaria 75 km em 45 min, valor que não aparece nas placas.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Sistemas de numeração.

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Questão 20 no caderno Nível 2 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗