Questão 2 (Nível 2) da OBMEP 2011

Resolução comentada

Para achar o resto de uma soma, basta somar os restos de cada parcela e depois tomar o resto dessa soma por 8.\n\nA primeira parcela é 2011!, o produto 1 \times 2 \times \ldots \times 2011. Vamos ver o que acontece com ela na divisão por 8.\n\n1. O produto contém os fatores 2, 4 e 6.\n2. Multiplicando só esses três: 2 \times 4 \times 6 = 48, e 48 = 8 \times 6.\n3. Logo 2011! é múltiplo de 8, e o resto dela é 0.\n\nA segunda parcela é 21. Como 21 = 2 \times 8 + 5, o resto de 21 por 8 é 5.\n\nSomando os restos: 0 + 5 = 5, que é menor que 8, então já é o resto final.\n\nConferindo: 2011! + 21 = 8k + 21 = 8k + 16 + 5 = 8(k+2) + 5. O resto é 5.\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão tem base na conta; o resto de 21 por 8 é 5, e o fatorial deixa resto 0.
• BNão corresponde a nenhum resto possível: o fatorial é múltiplo de 8 e 21 deixa resto 5.
• DResultado sem justificativa; seria o caso se a primeira parcela deixasse resto 1, mas ela deixa 0.
• EResto 7 exigiria que o fatorial deixasse resto 2, mas ele é múltiplo de 8.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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