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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Na multiplicação indicada na figura os asteriscos representam algarismos, iguais ou não. Qual é a soma dos números que foram multiplicados?

Armação de uma conta de multiplicação entre dois números de dois algarismos, ambos representados por asteriscos. Abaixo da primeira linha horizontal, a primeira parcela do produto tem três asteriscos e a segunda parcela, com sinal de adição à esquerda, tem dois asteriscos deslocados para a casa das dezenas. O resultado final, abaixo de uma segunda linha horizontal, é 1656.

  1. A
    82
  2. B
    95
  3. C
    110
  4. D
    127
  5. E
    132
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Sejam os fatores \overline{ab} (de cima) e \overline{cd} (de baixo). A primeira parcela, \overline{ab}\cdot d, tem 3 algarismos. A segunda, \overline{ab}\cdot c, tem 2 algarismos e vem deslocada uma casa, valendo 10\cdot\overline{ab}\cdot c. O produto total é 1656.

  1. Fatoramos: 1656 = 2^3\cdot 3^2\cdot 23.
  2. Procuramos dois fatores de dois algarismos: 1656 = 18\cdot 92 = 24\cdot 69 = 36\cdot 46 (e 72\cdot 23).
  3. A segunda parcela tem 2 algarismos, então \overline{ab}\cdot c<100. A primeira tem 3 algarismos, então \overline{ab}\cdot d\ge 100.
  4. Testamos \overline{ab}=92, \overline{cd}=18: 92\cdot 8=736 (3 algarismos) e 92\cdot 1=92 (2 algarismos). Serve.
  5. Testamos \overline{ab}=18, \overline{cd}=92: 18\cdot 2=36 tem 2 algarismos, não serve.
  6. Testamos 24\cdot 69: 24\cdot 9=216, mas 24\cdot 6=144 tem 3 algarismos, não serve. Com 69\cdot 24: 69\cdot 4=276 e 69\cdot 2=138, não serve.
  7. Testamos 36\cdot 46: 36\cdot 6=216 e 36\cdot 4=144, não serve. Com 46\cdot 36: 46\cdot 6=276 e 46\cdot 3=138, não serve.
  8. Testamos 72\cdot 23: 72\cdot 3=216 e 72\cdot 2=144, não serve. Com 23\cdot 72: 23\cdot 2=46, mas 23\cdot 7=161 tem 3 algarismos, não serve.

Só 92\cdot 18 satisfaz. A soma é 92+18=110.

Alternativa C.

Pegadinha: Vários pares de fatores de 1656 têm dois algarismos (24·69, 36·46, 72·23); só 92·18 respeita a forma das parcelas, e a ordem dos fatores importa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum par de fatores de 1656 que respeite a forma das parcelas.
  • BÉ a soma 69+24+2... na verdade o par 69\cdot24 dá 93, e 95 não corresponde a nenhum par válido.
  • DNão é a soma de nenhum par de fatores de dois algarismos de 1656 com parcelas de 3 e 2 algarismos.
  • ENão vem de um par válido; ignora a restrição de 3 e 2 algarismos nas parcelas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 18 no caderno Nível 2 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗