Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2011

Question

Na divisão indicada na figura, os asteriscos representam algarismos, iguais ou não. Qual é o algarismo representado pelo asterisco apontado pela flecha?

A
8
B
7
C
6
D
3
E
0

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Sistemas de numeração

Na divisão indicada na figura, os asteriscos representam algarismos, iguais ou não. Qual é o algarismo representado pelo asterisco apontado pela flecha?

A
8
B
7
C
6
D
3
E
0

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observamos que ao multiplicar 8 pelo divisor obtemos um número com dois algarismos. Como o divisor também tem dois algarismos e 8 \times 13 = 104, as possibilidades para o divisor são 10, 11 e 12.

[Figura: Esquema de divisão armada onde os algarismos desconhecidos são representados por asteriscos. No dividendo de 5 algarismos, uma seta aponta para o segundo asterisco. O divisor tem dois algarismos. O quociente tem três algarismos, terminando em 8. A primeira subtração é de um número de 3 algarismos resultando em 000; baixam-se os outros dois algarismos e subtrai-se um número de dois algarismos, deixando resto 01.]

Observamos agora que ao multiplicar o algarismo das centenas do quociente pelo divisor, obtemos um número de três algarismos. A única maneira possível de multiplicar um número de apenas um algarismos por 10, 11 ou 12 de modo a obter um número de três algarismos é 9 \times 12 = 108. Como a primeira subtração efetuada na conta armada tem como resultado 000, os três asteriscos à esquerda no dividendo correspondem a 1, 0 e 8, nessa ordem. Assim, o asterisco indicado em vermelho corresponde ao algarismo 0.

O(a) leitor(a) pode prosseguir essa análise e mostrar que a conta armada corresponde à expressão 10897 = 12 \times 908 + 1.

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Resolução comentada

Chame o divisor de d (dois algarismos) e o quociente de q\,r\,8.

Na primeira etapa, os três primeiros algarismos do dividendo menos q\cdot d dão 000. Logo, esses três algarismos formam exatamente q\cdot d, um número de 3 algarismos.
Depois de abaixar os dois últimos algarismos, aparece 000**, ou seja, um número de dois algarismos, menor que d. Então o segundo algarismo do quociente é r=0.
Na última etapa, os dois últimos algarismos do dividendo menos 8d (que tem 2 algarismos) deixam resto 1. Então 8d+1 tem no máximo 2 algarismos, o que dá 8d\le 98 e d\le 12. Como d tem dois algarismos, d é 10, 11 ou 12.
q\cdot d precisa ter 3 algarismos, ou seja, ser no mínimo 100, com q\le 9. Para d=10 ou d=11, isso exigiria q\ge 10, o que é impossível. Sobra d=12, com q=9, e 9\cdot 12=108.
Os dois últimos algarismos são 8\cdot12+1=97.

O dividendo é 10897, e a conta confere: 12\cdot 908=10896, com resto 1.

O asterisco apontado pela flecha é o segundo algarismo do dividendo, que é 0.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO 8 é o último algarismo do quociente, não o segundo algarismo do dividendo.
BO 7 é o último algarismo do dividendo, 10897, e não o apontado pela flecha.
CNão corresponde a nenhum algarismo do dividendo 10897.
DNão corresponde ao algarismo pedido; o dividendo 10897 não tem 3 na segunda posição.

Assunto: Sistemas de numeração.

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Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗