Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2011

Question

Mariana escreveu as decomposições em fatores primos dos números naturais de 2 a 100:

2,\ 3,\ 2 \times 2,\ 5,\ 2 \times 3,\ \dots,\ 3 \times 3 \times 11,\ 2 \times 2 \times 5 \times 5.

Quantas vezes ela escreveu o algarismo 2?

A
99
B
104
C
152
D
188
E
191

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Mariana escreveu as decomposições em fatores primos dos números naturais de 2 a 100:

2,\ 3,\ 2 \times 2,\ 5,\ 2 \times 3,\ \dots,\ 3 \times 3 \times 11,\ 2 \times 2 \times 5 \times 5.

Quantas vezes ela escreveu o algarismo 2?

A
99
B
104
C
152
D
188
E
191

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Mariana escreveu o algarismo 2:

uma vez na fatoração de cada número par, isto é, 50 vezes;
mais uma vez na fatoração de cada múltiplo de 4, isto é, outras 25 vezes;
mais uma vez na fatoração de cada múltiplo de 8, isto é, outras 12 vezes;
mais uma vez na fatoração de cada múltiplo de 16, isto é, outras 6 vezes;
mais uma vez na fatoração de cada múltiplo de 32, isto é, outras 3 vezes;
mais uma vez na fatoração de cada múltiplo de 64, ou seja, 1 vez;
quando escreveu os números primos 23 e 29, ou seja, 2 vezes;
quando escreveu 23 nas fatorações de 46, 69, 92 e quando escreveu 29 nas fatorações de 58 e 87, ou seja, 5 vezes.

No total, Mariana escreveu 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 2 + 5 = 104 vezes o algarismo 2.

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Resolução comentada

Mariana escreve cada número como produto de primos, repetindo o primo conforme o expoente. Então basta contar quantas vezes aparecem os primos que têm o algarismo 2.

Primos até 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Os únicos com o algarismo 2 são 2, 23 e 29, e cada um tem um único algarismo 2.

Fatores 2 (contando multiplicidade) nos números de 2 a 100: somamos os múltiplos de 2, de 4, de 8, de 16, de 32 e de 64. Cada múltiplo de 2^k contribui com mais um fator 2. Temos 50+25+12+6+3+1=97.
Fator 23: aparece em 23, 46, 69 e 92, e como 23^2=529>100 aparece uma vez em cada. Total: 4.
Fator 29: aparece em 29, 58 e 87. Total: 3.

Soma: 97+4+3=104.

Alternativa B.

Pegadinha: Quem conta só os fatores 2 chega a 97, e quem esquece que 23 e 29 também têm o algarismo 2 erra por 7. Quem não conta as multiplicidades (expoentes) erra ainda mais.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta só os números de 2 a 100 (99 números), sem relação com a quantidade de algarismos 2.
CValor sem base na contagem correta; superestima os fatores com o algarismo 2.
DValor sem base na contagem correta; superestima os fatores com o algarismo 2.
EValor sem base na contagem correta; superestima os fatores com o algarismo 2.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗