Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2011

Question

Na figura, AEFD é um retângulo, ABCD é um quadrado cujo lado mede 1\text{ cm} e os segmentos BF e DE são perpendiculares. Qual é a medida, em centímetros, do segmento AE?

Retângulo AEFD dividido no quadrado ABCD à esquerda e no retângulo BCFE à direita, com os segmentos BF e DE perpendiculares entre si

A
\sqrt{2}
B
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
C
2
D
\dfrac{8}{5}
E
\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Na figura, AEFD é um retângulo, ABCD é um quadrado cujo lado mede 1\text{ cm} e os segmentos BF e DE são perpendiculares. Qual é a medida, em centímetros, do segmento AE?

Retângulo AEFD dividido no quadrado ABCD à esquerda e no retângulo BCFE à direita, com os segmentos BF e DE perpendiculares entre si

A
\sqrt{2}
B
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
C
2
D
\dfrac{8}{5}
E
\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Esquema geométrico mostrando o retângulo AEFD com o segmento BC vertical, a diagonal DE e o segmento BF perpendicular a DE (indicado por símbolo de ângulo reto cinza). Os ângulos AED e EFB estão marcados com arcos simples indicando congruência.]

Como BF é perpendicular a DE e EF é perpendicular a AE, os ângulos \widehat{AED} e \widehat{EFB} são iguais. Logo os triângulos AED e EFB são semelhantes e temos \frac{BE}{EF} = \frac{AD}{AE}. Fazendo BE = x e lembrando que AD = EF = 1, segue que \frac{x}{1} = \frac{1}{1+x}, ou seja, x^2 + x - 1 = 0. A solução positiva dessa equação é x = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}, donde AE = 1 + x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

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Coloque A na origem: A(0,0), B(1,0), D(0,1), C(1,1). Seja AE = x, então E(x,0) e F(x,1).

O retângulo tem altura 1, e BF e DE são as duas diagonais de lados diferentes, que precisam ser perpendiculares.

Vetor de D a E: (x, -1).
Vetor de B a F: (x-1, 1).

Duas retas são perpendiculares quando o produto escalar dos vetores é zero:

x(x-1) + (-1)(1) = 0

x^2 - x - 1 = 0

Pela fórmula de Bhaskara:

x = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Como x>0 (e precisa ser maior que 1, pois E fica à direita de B), ficamos com

x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

Verificação: x\approx 1{,}618, então os coeficientes angulares são -1/x \approx -0{,}618 (DE) e 1/(x-1)\approx 1{,}618 (BF). O produto vale -1, confirmando a perpendicularidade.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

A\sqrt{2} é a diagonal do quadrado; com x=\sqrt2 o produto escalar não se anula.
B\sqrt{3}/2<1, o que colocaria E dentro do quadrado, e não satisfaz x^2-x-1=0.
CCom x=2 o produto escalar vale 2-1=1\neq 0, então as retas não são perpendiculares.
D8/5=1{,}6 é uma aproximação grosseira da raiz, mas não resolve a equação exatamente.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Equação do 2º grau.

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Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗