Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2011

Question

Na figura, o lado de cada quadradinho mede 1\text{ cm}. Qual é a área da região cinza?

Malha quadriculada de 5 por 5 quadradinhos contendo duas regiões sombreadas de cinza delimitadas pelas bordas da malha e por linhas poligonais

A
10\text{ cm}^2
B
12{,}5\text{ cm}^2
C
14{,}5\text{ cm}^2
D
16\text{ cm}^2
E
18\text{ cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2011

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura, o lado de cada quadradinho mede 1\text{ cm}. Qual é a área da região cinza?

Malha quadriculada de 5 por 5 quadradinhos contendo duas regiões sombreadas de cinza delimitadas pelas bordas da malha e por linhas poligonais

A
10\text{ cm}^2
B
12{,}5\text{ cm}^2
C
14{,}5\text{ cm}^2
D
16\text{ cm}^2
E
18\text{ cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Uma solução é observar que é possível sobrepor a região branca do quadrado à região cinza, bastando para isso girá-la 180^\circ ao redor do centro do quadrado. Logo elas têm a mesma área, que é igual à metade da área do quadrado, ou seja, 25 \div 2 = 12{,}5\ \text{cm}^2.

Outra solução é calcular a área da região cinza por partes, como na figura ao lado. Para isso, usamos repetidamente o fato de que a diagonal de um retângulo divide esse retângulo em dois triângulos de mesma área. Na figura, decompomos a região cinza em triângulos e retângulos, indicando em cada um sua área. Logo a área da região cinza é 1 + 1 + 3 + 0{,}5 + 2{,}5 + 2 + 1 + 1 + 0{,}5 = 12{,}5\ \text{cm}^2.

[Figura: malha quadriculada 5 por 5 exibindo a decomposição da região cinza em triângulos e retângulos com os valores de suas áreas: retângulos de áreas 3 e 2, e triângulos de áreas 0,5, 1, 1, 2,5, 1, 1 e 0,5]

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Resolução comentada

Não dá para contar quadradinhos inteiros, porque as linhas são inclinadas. A saída é calcular a área branca e subtrair da área total.

A malha é 5\times5, então a área total é 25\ \text{cm}^2.

Pela figura, uso coordenadas com a origem no canto inferior esquerdo. A região cinza tem duas partes, uma acima e outra abaixo da linha que vai de (0,3) a (5,2).

A parte de cima é limitada pelo topo da malha, pelo lado esquerdo e pela poligonal (0,3)\to(1,4)\to(3,3)\to(4,5). O branco que sobra no meio é o triângulo de vértices (0,3), (1,4) e (3,3) somado à região direita.

A solução mais simples é calcular a área cinza diretamente em cada parte.

Parte superior: trapézio/polígono de vértices (0,3),(1,4),(3,3),(4,5),(0,5). Pela fórmula do cadarço, a área é \tfrac12|(0\cdot4-1\cdot3)+(1\cdot3-3\cdot4)+(3\cdot5-4\cdot3)+(4\cdot5-0\cdot5)+(0\cdot3-0\cdot5)|=\tfrac12|-3-9+3+20+0|=5{,}5.
Parte inferior: polígono de vértices (0,3),(5,2),(4,1),(2,2),(1,0),(0,0). Cadarço: (0\cdot2-5\cdot3)=-15; (5\cdot1-4\cdot2)=-3; (4\cdot2-2\cdot1)=6; (2\cdot0-1\cdot2)=-2; (1\cdot0-0\cdot0)=0; (0\cdot3-0\cdot0)=0. Soma =-14, área =7.

Total cinza: 5{,}5+7=12{,}5\ \text{cm}^2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubestima a área, ignorando as partes de quadradinhos cortados pelas linhas inclinadas.
CSuperestima, contando como cinza parte dos triângulos que são brancos.
DValor inteiro obtido por aproximar os quadradinhos cortados em vez de calcular as áreas.
ESuperestima bastante, tratando quase todos os quadradinhos cortados como inteiramente cinza.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 11 no caderno Nível 1 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 1. Prova oficial ↗