Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2010

Question

Um quadrado de papel de 20 cm de lado, com a frente branca e o verso cinza, foi dobrado ao longo das linhas pontilhadas, como na figura. Qual é a área da parte branca que ficou visível?

Esquema mostrando o processo de dobradura de um quadrado de lado 20 cm. O quadrado possui uma linha pontilhada horizontal a 6 cm da borda inferior e uma vertical a 8 cm da borda esquerda. Primeiro, a faixa inferior de 6 cm é dobrada para cima. Depois, a faixa lateral esquerda de 8 cm é dobrada para a direita, restando uma região branca visível no canto superior direito.

A
18\text{ cm}^2
B
32\text{ cm}^2
C
36\text{ cm}^2
D
72\text{ cm}^2
E
84\text{ cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2010

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um quadrado de papel de 20 cm de lado, com a frente branca e o verso cinza, foi dobrado ao longo das linhas pontilhadas, como na figura. Qual é a área da parte branca que ficou visível?

Esquema mostrando o processo de dobradura de um quadrado de lado 20 cm. O quadrado possui uma linha pontilhada horizontal a 6 cm da borda inferior e uma vertical a 8 cm da borda esquerda. Primeiro, a faixa inferior de 6 cm é dobrada para cima. Depois, a faixa lateral esquerda de 8 cm é dobrada para a direita, restando uma região branca visível no canto superior direito.

A
18\text{ cm}^2
B
32\text{ cm}^2
C
36\text{ cm}^2
D
72\text{ cm}^2
E
84\text{ cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A figura mostra os comprimentos de alguns segmentos ao longo da sequência de dobras. Ao final, vemos que a região branca é um retângulo de lados de comprimento 4 cm e 8 cm; sua área é então 4 \times 8 = 32\text{ cm}^2.

[Figura: Esquema mostrando uma folha quadrada e a sequência de duas dobras. No primeiro quadrado, o lado superior mede 20 cm, e no canto inferior esquerdo há dois segmentos em linha grossa medindo 6 cm na vertical e 8 cm na horizontal, com linhas tracejadas indicando as dobras. Uma seta aponta para a segunda etapa, na qual a folha foi dobrada horizontalmente, formando um retângulo com a parte inferior sombreada de cinza, mostrando segmentos de 8 cm e 6 cm no lado esquerdo e 8 cm na base. Uma nova seta aponta para a terceira etapa, após a dobra vertical, restando uma região branca retangular com altura de 8 cm e base de 4 cm (ao lado de um segmento de 8 cm na base total).]

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Resolução comentada

Vamos acompanhar as dobras e ver o que sobra de branco na frente.

A linha horizontal está a 6 cm da borda inferior. Ao dobrar a faixa inferior para cima, ela cobre a faixa de 6 cm que fica logo acima da linha, pois tem 6 cm de altura. Ela tem o verso cinza voltado para cima e fica sobre a parte de baixo, de 12 cm de altura. Depois da dobra, a figura tem 14 cm de altura útil: a região de 20 − 12 = 8 cm...

Vamos refazer com mais cuidado. A linha está a 6 cm da base. A faixa inferior tem 6 cm e, dobrada, ocupa de 6 cm a 12 cm de altura, em cinza. Acima de 12 cm, o papel continua branco, com altura de 20 − 12 = 8 cm.

A linha vertical está a 8 cm da borda esquerda. A faixa esquerda, de 8 cm de largura, é dobrada para a direita e cobre de 8 cm a 16 cm de largura, em cinza. Sobra branco à direita de 16 cm, com largura de 20 − 16 = 4 cm.
Na figura final, o branco visível está no canto superior direito, acima da parte cinza da primeira dobra. Ele tem largura 4 cm e altura 8 cm, pois a dobra horizontal cobriu até 12 cm de altura.

Área branca: 4 \times 8 = 32\ \text{cm}^2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa dimensões que não correspondem às duas dobras, subestimando a região branca.
CConsidera um retângulo de 6 cm por 6 cm, sem usar as medidas corretas das dobras.
DUsa altura 8 cm e largura 9 cm, ou seja, não desconta corretamente a dobra lateral.
ECalcula uma região maior do que a que fica descoberta depois das duas dobras.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 8 no caderno Nível 2 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 2. Prova oficial ↗