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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Média aritmética e ponderada

Na figura, x é a média aritmética dos números que estão nos quatro círculos claros e y é a média aritmética dos números que estão nos quatro círculos escuros. Qual é o valor de x - y ?

Oito círculos adjacentes: quatro claros com os valores 5, 49, 16 e a letra y; e quatro escuros com os valores 3, 24, 23 e a letra x

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. C
    2
  4. D
    3
  5. E
    4
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Resolução comentada

Resolução comentada

Pela figura, os círculos claros (brancos) são 5, 49, 16 e o que contém y. Os escuros (cinza) são 3, 24, 23 e o que contém x. Note que o x está em um círculo escuro, e o y em um claro. (A descrição do enunciado trocou as cores, mas a imagem mostra isso.)

A média dos claros é x e a média dos escuros é y. Montamos as equações:

  1. Claros: x = \dfrac{5 + 49 + 16 + y}{4} = \dfrac{70 + y}{4}, ou seja, 4x = 70 + y.
  2. Escuros: y = \dfrac{3 + 24 + 23 + x}{4} = \dfrac{50 + x}{4}, ou seja, 4y = 50 + x.

Subtraindo a segunda da primeira:

4x - 4y = 70 + y - 50 - x
4x - 4y = 20 + y - x
5x - 5y = 20
x - y = 4

Conferindo: de 4x = 70 + y e 4y = 50 + x, temos y = 4x - 70, então 16x - 280 = 50 + x, logo x = 22 e y = 18. A diferença é 22 - 18 = 4.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe que as duas médias sejam iguais, o que não ocorre: x=22 e y=18.
  • BErro de conta ao subtrair as equações, sem chegar a 5(x-y)=20.
  • CDivide a diferença 20 por 10 em vez de por 5.
  • DNão corresponde a nenhum valor obtido no sistema; resulta de erro de cálculo.

Assuntos: Média aritmética e ponderada, Equações do 1º grau e problemas.

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Fonte: OBMEP 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗