Questão 5 (Nível 2) da OBMEP 2010

Question

Cada quadradinho na figura deve ser preenchido com um sinal de adição (+) ou de multiplicação (\times). Qual é o maior valor possível da expressão obtida depois de preenchidos todos os quadradinhos?

2\ \square\ 3\ \square\ 0\ \square\ 8\ \square\ 9\ \square\ 1

A
77
B
78
C
79
D
80
E
81

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da OBMEP 2010

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Cada quadradinho na figura deve ser preenchido com um sinal de adição (+) ou de multiplicação (\times). Qual é o maior valor possível da expressão obtida depois de preenchidos todos os quadradinhos?

2\ \square\ 3\ \square\ 0\ \square\ 8\ \square\ 9\ \square\ 1

A
77
B
78
C
79
D
80
E
81

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como ao multiplicar qualquer número por 0 o resultado é 0, não contribuindo assim para maximizar o resultado da expressão, devemos colocar sinais de adição dos dois lados do 0:

2\ \square\ 3\ \boxed{+}\ 0\ \boxed{+}\ 8\ \square\ 9\ \square\ 1

Entre multiplicar por 1 e somar 1, o maior resultado é obtido no segundo caso, logo devemos também colocar um sinal de adição antes do 1:

2\ \square\ 3\ \boxed{+}\ 0\ \boxed{+}\ 8\ \square\ 9\ \boxed{+}\ 1

Finalmente, 2\times 3 é maior que 2+3 e 8\times 9 é maior que 8+9, de modo que a expressão que fornece o maior valor é

2\ \boxed{\times}\ 3\ \boxed{+}\ 0\ \boxed{+}\ 8\ \boxed{\times}\ 9\ \boxed{+}\ 1

cujo valor é 2\times 3+0+8\times 9+1=79.

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Resolução comentada

Conceito: na expressão, a multiplicação é feita antes da adição. Multiplicar por 0 zera o produto e multiplicar por 1 não muda nada, então o 0 e o 1 devem ser usados com adição. Multiplicar só ajuda quando os fatores são maiores que 1.

O 1 no final: \ldots + 1 é melhor que \times 1. Já o 0 só pode ser somado (\times 0 anularia um fator).

Para o 0: 3 + 0 + 8 ou 3 + 0 \times 8? O melhor é somar os dois lados do zero, assim o 0 separa a expressão em blocos.

Temos então os blocos: 2\ \square\ 3 e 8\ \square\ 9, mais o 0 e o 1 somados.

Bloco 2 e 3: 2 \times 3 = 6 (maior que 2+3=5).
Bloco 8 e 9: 8 \times 9 = 72 (maior que 17).
Soma total: 6 + 0 + 72 + 1 = 79.

Conferindo outra opção: 2 \times 3 + 0 + 8 \times 9 + 1 = 79. Tentar juntar o 0 ao bloco 8 \times 9 não é possível, pois \times 0 zeraria; e 2 + 3 \times \ldots não passa disso. Logo o máximo é 79.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor menor que o máximo, vindo de escolher sinais que perdem valor (por exemplo, somar 2+3 em vez de multiplicar).
BNão é alcançado por nenhuma combinação ótima; erro de conta ao somar os blocos.
DValor maior que o máximo real; nenhuma escolha de sinais chega a 80.
EValor maior que o máximo real; ignora que \times 0 zera e \times 1 não altera.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Esta questão também caiu em

OBMEP 2010 · Questão 1 (Nível 3)230891

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Questão 5 no caderno Nível 2 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 2. Prova oficial ↗