Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2010

Question

Cada quadradinho na figura deve ser preenchido com um sinal de adição (+) ou de multiplicação (\times). Qual é o maior valor possível da expressão obtida depois de preenchidos todos os quadradinhos?

2 \ \square\ 3 \ \square\ 0 \ \square\ 8 \ \square\ 9 \ \square\ 1

A
77
B
78
C
79
D
80
E
81

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Cada quadradinho na figura deve ser preenchido com um sinal de adição (+) ou de multiplicação (\times). Qual é o maior valor possível da expressão obtida depois de preenchidos todos os quadradinhos?

2 \ \square\ 3 \ \square\ 0 \ \square\ 8 \ \square\ 9 \ \square\ 1

A
77
B
78
C
79
D
80
E
81

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como ao multiplicar qualquer número por 0 o resultado é 0, não contribuindo assim para maximizar o resultado da expressão, devemos colocar sinais de adição dos dois lados do 0:

2\ \square\ 3\ \boxed{+}\ 0\ \boxed{+}\ 8\ \square\ 9\ \square\ 1

Entre multiplicar por 1 e somar 1, o maior resultado é obtido no segundo caso, logo devemos também colocar um sinal de adição antes do 1:

2\ \square\ 3\ \boxed{+}\ 0\ \boxed{+}\ 8\ \square\ 9\ \boxed{+}\ 1

Finalmente, 2 \times 3 é maior que 2 + 3 e 8 \times 9 é maior que 8 + 9, de modo que a expressão que fornece o maior valor é

2\ \boxed{\times}\ 3\ \boxed{+}\ 0\ \boxed{+}\ 8\ \boxed{\times}\ 9\ \boxed{+}\ 1

cujo valor é 2 \times 3 + 0 + 8 \times 9 + 1 = 79.

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Resolução comentada

Multiplicar por 0 zera o produto, e multiplicar por 1 não muda nada. Então o 0 e o 1 devem ser somados, e o ganho vem de multiplicar os números maiores.

Seja a expressão 2 \ \square\ 3 \ \square\ 0 \ \square\ 8 \ \square\ 9 \ \square\ 1.

O 0 deve ser somado dos dois lados: \ldots + 0 + \ldots. Se ele fosse multiplicado, anularia o termo vizinho.
O 1 final deve ser somado: \ldots + 1.
Sobram dois blocos: 2\ \square\ 3 e 8\ \square\ 9.
Para 8 e 9: 8\times 9 = 72 é bem maior que 8+9=17.
Para 2 e 3: 2\times 3 = 6 e 2+3 = 5, então o produto é melhor.

A expressão fica:

2\times 3 + 0 + 8\times 9 + 1 = 6 + 0 + 72 + 1 = 79

Conferindo uma alternativa: 2\times 3 + 0 + 8\times 9\times 1 = 78, que é menor. Multiplicar tudo de 2 a 3 com o 0 dá resultado pior. Logo, o máximo é 79.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem multiplica por 1, achando que isso mantém o valor, quando somar o 1 acrescenta uma unidade.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor baixo demais, obtido com escolhas ruins de sinais, como somar 8+9.
BMultiplica o 1 por 9 (8\times 9\times 1), em vez de somá-lo, perdendo 1 unidade: 78.
DNão é atingível: nenhuma escolha de sinais chega a 80.
ENão é atingível; exigiria ganhar mais que o máximo possível.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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Esta questão também caiu em

OBMEP 2010 · Questão 5 (Nível 2)230891

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Questão 1 no caderno Nível 3 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗