Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2010

Question

Na figura as circunferências de centros A e B são tangentes aos lados do retângulo e têm diâmetros iguais a 4\text{ cm}. A distância entre os pontos R e S é 1\text{ cm}. Qual é o perímetro do retângulo?

Duas circunferências secantes de centros A e B e mesmo raio tangentes aos lados de um retângulo. O segmento horizontal AB liga os centros e intercepta as circunferências nos pontos R e S. Há pontos destacados de tangência nas quatro bordas do retângulo.

A
16\text{ cm}
B
18\text{ cm}
C
20\text{ cm}
D
22\text{ cm}
E
24\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2010

Nível 2 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Na figura as circunferências de centros A e B são tangentes aos lados do retângulo e têm diâmetros iguais a 4\text{ cm}. A distância entre os pontos R e S é 1\text{ cm}. Qual é o perímetro do retângulo?

Duas circunferências secantes de centros A e B e mesmo raio tangentes aos lados de um retângulo. O segmento horizontal AB liga os centros e intercepta as circunferências nos pontos R e S. Há pontos destacados de tangência nas quatro bordas do retângulo.

A
16\text{ cm}
B
18\text{ cm}
C
20\text{ cm}
D
22\text{ cm}
E
24\text{ cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Os segmentos AP, AS, BR e BQ são raios dos círculos, logo todos têm comprimento 2. Além disso, temos BS = BR - RS = 1, donde PQ = PA + AS + SB + BQ = 2 + 2 + 1 + 2 = 7 e vemos que os lados maiores do retângulo têm comprimento 7. Por outro lado, o comprimento dos lados menores do retângulo é igual ao comprimento de MN, que é um diâmetro do círculo, ou seja, tem comprimento 4. Logo o perímetro do retângulo é 7 + 7 + 4 + 4 = 22\text{ cm}.

[Figura: Um retângulo que envolve dois círculos congruentes sobrepostos horizontalmente. Um segmento horizontal PQ conecta os lados esquerdo e direito do retângulo passando pelos centros A e B dos círculos e marcando os pontos R e S na região de interseção. Um segmento vertical tracejado MN passa pelo centro A, ligando a borda superior à inferior do retângulo.]

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Resolução comentada

Diâmetro 4\text{ cm} significa raio 2\text{ cm}.

Como as circunferências são tangentes aos lados do retângulo, a altura do retângulo é igual ao diâmetro: 4\text{ cm}.

Para a largura, use a posição dos pontos sobre o segmento AB, na ordem A, R, S, B:

R está na circunferência de centro B, então BR = 2.
S está na circunferência de centro A, então AS = 2.
RS = 1.

Assim, AB = AS + SB. Como S fica entre R e B e BR = 2, temos SB = BR - RS = 2 - 1 = 1.

Logo:

AB = AS + SB = 2 + 1 = 3\text{ cm}

A largura do retângulo vai do lado esquerdo até o lado direito. O lado esquerdo está a 2\text{ cm} de A (raio) e o lado direito está a 2\text{ cm} de B:

\text{largura} = 2 + 3 + 2 = 7\text{ cm}

O perímetro é:

2\,(7 + 4) = 22\text{ cm}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa largura 4 e altura 4 ou outra soma incorreta, ignorando que a largura é 7 cm.
BConsidera largura 5 cm, esquecendo parte da distância entre os centros.
CConsidera largura 6 cm, tomando AB = 2 em vez de 3.
EConsidera largura 8 cm, somando os dois diâmetros sem descontar a sobreposição de 1 cm.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 6 no caderno Nível 2 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 2. Prova oficial ↗