Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2010

Resolução comentada

Um número entre 10 e 100 tem dois algarismos, 10a+b, com a de 1 a 9 e b de 0 a 9. Invertendo, fica 10b+a.

A soma é:

Para ser quadrado perfeito, 11(a+b) precisa ser divisível por 11, e então também por 11^2=121. Logo a+b deve ser múltiplo de 11.

Como a+b\le 18 e a+b\ge 1, só serve a+b=11. A soma é 121=11^2, que é quadrado perfeito.

Agora listamos os pares com a+b=11 (com a\ge1 e b\le9):

1. a=2,\ b=9: 29
2. a=3,\ b=8: 38
3. a=4,\ b=7: 47
4. a=5,\ b=6: 56
5. a=6,\ b=5: 65
6. a=7,\ b=4: 74
7. a=8,\ b=3: 83
8. a=9,\ b=2: 92

O caso a=1 exigiria b=10, impossível. Também não há caso com b=0, pois a=11 não existe.

São 8 números enquadrados.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só metade dos números, sem contar os que são inversos uns dos outros (29 e 92, por exemplo), ou erra a lista.
• BPerde dois números da lista de pares com soma 11.
• DInclui um caso impossível, como a=1, b=10, ou conta um número a mais.
• EInclui mais de um caso inválido, como a=1 e b=0, ou considera outras somas.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Sistemas de numeração.

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