Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2010

Resolução comentada

Escolhemos três números distintos de 1 a 19. O maior e o menor são ímpares, e o do meio é par. Basta escolher dois ímpares distintos e, entre eles, um par.

De 1 a 19 há 10 ímpares (1, 3, ..., 19) e 9 pares (2, 4, ..., 18).

Fixe o menor ímpar 2a-1 e o maior 2b-1, com 1\le a<b\le 10. Os pares entre eles são 2a, 2a+2, \ldots, 2b-2, ou seja, b-a números.

Logo, a quantidade de escolhas é a soma de b-a sobre todos os pares a<b.

1. Diferença d=b-a pode valer de 1 a 9.
2. Para cada d, há 10-d pares (a,b).
3. Cada um desses pares contribui com d possibilidades para o número par.

Total:

Somando: 9+16=25; +21=46; +24=70; +25=95; +24=119; +21=140; +16=156; +9=165.

Conferência: o resultado também é \binom{11}{3}=165, pois cada escolha corresponde a escolher 3 elementos entre 11 posições.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem justificativa, obtido de uma soma incompleta dos casos.
• CÉ a soma parcial até d=7, que omite os casos de maior diferença.
• DValor sem relação com a contagem correta, de erro de soma.
• ECorresponde a 10\times 10, ignorando a restrição de o par ficar entre os ímpares.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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