Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2010

Question

Um número natural é chamado número circunflexo quando:

ele tem cinco algarismos;
seus três primeiros algarismos a partir da esquerda estão em ordem crescente;
seus três últimos algarismos estão em ordem decrescente.

Por exemplo, 13864 e 78952 são números circunflexos, mas 78851 e 79421 não o são. Quantos são os números circunflexos maiores do que 77777?

Algarismos do número 78952 dispostos e estilizados na forma de um acento circunflexo

A
30
B
36
C
42
D
48
E
54

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2010

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Um número natural é chamado número circunflexo quando:

ele tem cinco algarismos;
seus três primeiros algarismos a partir da esquerda estão em ordem crescente;
seus três últimos algarismos estão em ordem decrescente.

Por exemplo, 13864 e 78952 são números circunflexos, mas 78851 e 79421 não o são. Quantos são os números circunflexos maiores do que 77777?

Algarismos do número 78952 dispostos e estilizados na forma de um acento circunflexo

A
30
B
36
C
42
D
48
E
54

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Não existem números circunflexos começando com 8, pois nesse caso o segundo algarismo seria 9, não sobrando nenhum algarismo maior para aparecer no centro. Por outro lado, qualquer número começando com 6 à esquerda é menor do que 77777. Assim, os circunflexos maiores do que 77777 são da forma 789AB, onde A e B denotam algarismos de 0 a 9. Notamos que A não pode ser 0, pois nesse caso não seria possível escolher um algarismo para B. Além disso A também não pode ser 9, pois os três últimos algarismos devem estar em ordem decrescente; logo A só pode assumir valores de 1 a 8. Se A for 8, B pode ser escolhido entre os algarismos de 0 a 7, ou seja, temos 8 escolhas para B. Do mesmo modo, se A for 7 temos 7 escolhas para B e assim por diante, até o caso em que A for 1, quando temos apenas 1 escolha para B. Logo o número total de números circunflexos é 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Um número circunflexo abcde tem a<b<c e c>d>e. Ou seja, o terceiro algarismo c é o maior de todos, o "pico". Como o número deve ser maior que 77777, a\ge 7. Se a=7, então b\ge 8 e c=9; se a=8, então b=9 e c>9, impossível. Logo a=7.

Com a=7 temos 7<b<c, então b=8 e c=9. Todos os números têm a forma 789de, com 9>d>e. Todos eles são maiores que 77777, pois começam com 78.

Falta contar os pares (d,e) com 9>d>e, usando algarismos de 0 a 8. Para cada d, os valores possíveis de e são 0,1,\dots,d-1, ou seja, d opções:

d=1: 1 opção
d=2: 2 opções
d=3: 3 opções
d=4: 4 opções
d=5: 5 opções
d=6: 6 opções
d=7: 7 opções
d=8: 8 opções

Total: 1+2+\dots+8=36. Isso equivale a escolher 2 algarismos distintos entre 9: \binom{9}{2}=36.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AContagem incompleta dos pares (d, e), por exemplo omitindo algum valor de d.
CSoma a mais, como se o algarismo d pudesse ser 9 (1+...+9=45) ou contasse casos extras; não corresponde a nenhuma contagem válida.
DConta casos a mais, sem respeitar d<9 e d>e estritamente.
EConta pares com repetição ou casos extras que violam a ordem estritamente decrescente.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 18 no caderno Nível 1 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 1. Prova oficial ↗