Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2010

Resolução comentada

Quando a tira é dobrada, a parte dobrada continua com a mesma largura de 1\ \text{cm}. A figura mostra um triângulo formado pela dobra: o lado inclinado de 2\ \text{cm} (a dobra) vai do canto inferior da tira horizontal até o ponto da borda de baixo onde a tira dobrada começa. A altura desse triângulo em relação à linha pontilhada (a borda superior da tira) é a largura da tira, 1\ \text{cm}.

A dobra de 2\ \text{cm} liga o ponto de baixo à esquerda ao ponto de cima à direita, e a distância entre as duas bordas da tira é 1\ \text{cm}. Então o triângulo retângulo formado tem hipotenusa 2 e cateto oposto 1:

1. A dobra faz 30^\circ com a borda da tira, no canto inferior da figura.
2. Pela dobra, a borda inclinada da parte cinza faz com a horizontal o ângulo suplementar de 2\cdot 30^\circ=60^\circ, pois a dobra funciona como bissetriz: a tira horizontal e a dobrada formam ângulos iguais com a linha de dobra.
3. A borda inclinada faz então 60^\circ com a horizontal, medido para a direita. O ângulo \alpha fica à esquerda dessa borda, sobre a linha pontilhada, portanto é o suplementar:

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhuma relação da figura; ignora que a dobra forma 30^\circ com a borda.
• BValor sem justificativa geométrica, obtido ao errar o ângulo da dobra.
• DValor sem justificativa geométrica, obtido ao errar o ângulo da dobra.
• EConfunde o ângulo com 180^\circ-50^\circ, sem usar o seno de 30^\circ.

Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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