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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Joana tem 10 pares diferentes de meias, guardados dentro de uma gaveta. Três meias estão furadas, sendo duas do mesmo par. Quantas meias ela deve tirar da gaveta, uma de cada vez e sem olhar, para ter certeza de que entre elas haja um par sem defeito?

Ilustração de Joana com os olhos vendados tirando uma meia de uma gaveta com várias meias

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. C
    10
  4. D
    11
  5. E
    13
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Resolução comentada

São 10 pares, ou seja, 20 meias. Três estão furadas: duas formam um mesmo par (esse par está inteiro estragado) e a terceira pertence a outro par.

Assim, dos 10 pares:

  • 1 par tem as duas meias furadas;
  • 1 par tem uma meia furada e uma boa;
  • 8 pares estão completamente sem defeito.

Total de meias: 2 + 2 + 16 = 20. Meias furadas: 3. Meias boas: 17.

Para ter certeza de um par sem defeito, pense no pior caso (princípio da casa dos pombos).

  1. O azar máximo é tirar primeiro todas as 3 meias furadas: 3 meias.
  2. Depois, sobram só meias boas. Entre elas, o pior caso é pegar uma meia de cada par que tem meia boa: são os 8 pares perfeitos e o par com uma meia boa, ou seja, 9 meias boas, todas de pares diferentes.
  3. Até aqui, 3 + 9 = 12 meias, e ainda não há par sem defeito.
  4. A próxima meia (a 13ª) é boa e deve ser da mesma dupla de alguma das 8 já tiradas dos pares perfeitos, pois a meia boa do par com furada já foi tirada, e todas as outras boas são de pares perfeitos. Forma-se então um par sem defeito.

Portanto, ela precisa tirar 12 + 1 = 13 meias.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora as meias furadas e só pensa em 5 meias de 10 pares, sem considerar o pior caso.
  • BValor sem relação com o pior caso; não considera que as furadas podem sair primeiro.
  • CUsa apenas o número de pares, esquecendo as meias furadas e a necessidade de repetir um par.
  • DConta 10 pares + 1, sem somar as 3 furadas que podem sair antes; erra o pior caso.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗