Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2010

Question

A figura mostra um quadrado com suas diagonais e segmentos que unem os pontos médios de seus lados. A área em preto corresponde a que fração da área do quadrado?

Quadrado com suas diagonais e segmentos médios subdividindo a figura, com partes sombreadas em preto formando um padrão simétrico

A
\frac{1}{2}
B
\frac{2}{3}
C
\frac{3}{4}
D
\frac{3}{8}
E
\frac{9}{16}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2010

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra um quadrado com suas diagonais e segmentos que unem os pontos médios de seus lados. A área em preto corresponde a que fração da área do quadrado?

Quadrado com suas diagonais e segmentos médios subdividindo a figura, com partes sombreadas em preto formando um padrão simétrico

A
\frac{1}{2}
B
\frac{2}{3}
C
\frac{3}{4}
D
\frac{3}{8}
E
\frac{9}{16}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O quadrado está dividido em quatro quadrados menores iguais. Cada um dos triângulos brancos tem um lado que é um lado de um quadrado menor e sua altura, relativa a este lado, é a metade do lado do quadrado menor; logo sua área é \frac{1 \times \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} da área de um quadrado menor. Como são quatro desses triângulos, vemos que a área da parte branca é igual à área de 4 \times \frac{1}{4} = 1 quadrado menor. Como área de um desses quadrados é \frac{1}{4} da área do quadrado maior, segue que a área preta é igual a 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} da área do quadrado maior.

[Figura: Quadrado dividido em quatro quadrantes iguais com linhas diagonais auxiliares, contendo quatro triângulos brancos posicionados de forma simétrica e as demais regiões preenchidas em preto.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Considere o quadrado de lado 4, com área 16. Pelo padrão da figura, os quatro triângulos brancos têm o mesmo formato, girados de 90^\circ em torno do centro. A área branca é, portanto, 4 vezes a de um deles.

Um triângulo branco, o de cima, tem como vértices:

o ponto médio do lado superior, (2,4);
o vértice do canto, (4,4);
o ponto (1,3), que fica sobre a diagonal e sobre o segmento médio, a um quarto do lado em cada direção.

Leitura da figura: li esses vértices a partir da imagem e os considerei aproximados. É uma interpretação, não uma medida exata.

Cálculo da área:

Base ao longo do lado superior, de x=2 até x=4: 2.
Altura, distância de (1,3) até o lado superior: 4-3=1.
Área do triângulo: \dfrac{2\cdot 1}{2}=1.
Área branca total: 4\cdot 1=4.
Área preta: 16-4=12.

A fração preta é \dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACorresponderia a 8 de 16, deixando metade branca, o que superestima a área branca.
BDaria área preta de \frac{32}{3}, valor que não sai da subdivisão do quadrado.
DSeria 6 de 16, bem menos que a área preta real.
ESeria 9 de 16, o que exigiria área branca de 7, maior que os 4 calculados.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 13 no caderno Nível 2 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 2. Prova oficial ↗