Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2010

Resolução comentada

Temos \overline{OB}\times 6=\overline{MEP}, com O,B,M,E,P distintos, todos tirados de \{2,3,4,5,6,7\}. Como são seis algarismos e cinco letras, um deles não é usado, e o 6 (do multiplicador) é um dos algarismos listados, mas pode ser repetido como multiplicador.

O produto tem três algarismos, então \overline{OB}\times 6\ge 100, ou seja, \overline{OB}\ge 17. Além disso, \overline{OB}\le 77.

Testando os números \overline{OB} formados por algarismos de 2 a 7, sem repetir:

1. 23\times6=138: tem o 1, não serve.
2. 24\times6=144: tem o 1, não serve.
3. 25\times6=150: não serve.
4. 27\times6=162: não serve.
5. 34\times6=204: tem o 0, não serve.
6. 35\times6=210: não serve.
7. 37\times6=222: não serve.
8. 42\times6=252: repete o 2 e o 5 não pode, pois 2 aparece duas vezes; não serve.
9. 43\times6=258: tem o 8, não serve.
10. 45\times6=270: tem o 0, não serve.
11. 47\times6=282: não serve.
12. 52\times6=312: não serve.
13. 53\times6=318: não serve.
14. 54\times6=324: tem o 2, o 3 e o 4, mas o 4 repete; não serve.
15. 57\times6=342: tem 5, 7, 3, 4, 2, todos distintos e na lista. Serve!

Conferindo: O=5, B=7, M=3, E=4, P=2, cinco algarismos diferentes. O algarismo 6 sobra como multiplicador.

Portanto O=5.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AO 2 é o algarismo P (unidade do produto 342), não o O.
• BO 3 é o algarismo M, a centena do produto 342.
• CO 4 é o algarismo E, a dezena do produto 342.
• EO 7 é o algarismo B, a unidade do número 57.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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