Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2010

Resolução comentada

Chame de d o espaçamento entre os pontos e posicione-os nas abscissas 0,1,2,\dots,6 (em unidades de d). A figura mostra os pontos em ordem: 0 (extremo esquerdo), 1, 2, 3 (centro), 4, 5, 6.

A região preta é a semicircunferência de diâmetro 3 a 4 (raio \tfrac{1}{2}) acima da reta, ou seja, um semicírculo de raio \tfrac{d}{2}. Pela figura, a espiral é formada por semicircunferências centradas em pontos vizinhos, e o centro das menores fica em 3,5.

A área preta é

Na figura, a região cinza é composta por:

1. Em cima: o semicírculo grande, de raio 3d (de 0 a 6 em torno de 3, com centro em 3), menos o semicírculo de raio 2d centrado no mesmo ponto 3.

Para comparar com a área preta, use as áreas em múltiplos de \pi d^2/8 (isto é, 1):

• semicírculo de raio r: \dfrac{\pi r^2}{2}. Com r=\tfrac{d}{2}: \dfrac{\pi d^2}{8}=1. Logo, um semicírculo de raio k\cdot\tfrac{d}{2} tem área k^2.

A espiral cinza tem raios (em unidades de \tfrac d2) 6 e 4 em cima, e 5 e 3 embaixo, conforme os arcos que aparecem na figura. As áreas são:

A área cinza vale então 36.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a diferença de quadrados dos raios dos arcos.
• BMetade da área correta, ao esquecer um dos dois anéis semicirculares.
• CResultado de erro na contagem dos raios dos arcos.
• DErro ao calcular a diferença dos quadrados dos raios.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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