Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2010

Question

Seis crianças fizeram uma roda e cada uma, em voz baixa, falou seu número favorito para seus dois vizinhos. Em seguida, cada criança disse em voz alta a soma dos dois números que ouviu; a figura mostra o que Afonso, Camila e Eduardo disseram em voz alta. Qual é o número favorito de Fátima?

Seis crianças dispostas em círculo: no sentido horário, a partir do topo, estão Afonso (com balão dizendo 16), Bernardo, Camila (com balão dizendo 12), Daniela, Eduardo (com balão dizendo 8) e Fátima.

A
5
B
6
C
7
D
8
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2010

Nível 2 · Matemática: Sistemas lineares

Seis crianças fizeram uma roda e cada uma, em voz baixa, falou seu número favorito para seus dois vizinhos. Em seguida, cada criança disse em voz alta a soma dos dois números que ouviu; a figura mostra o que Afonso, Camila e Eduardo disseram em voz alta. Qual é o número favorito de Fátima?

Seis crianças dispostas em círculo: no sentido horário, a partir do topo, estão Afonso (com balão dizendo 16), Bernardo, Camila (com balão dizendo 12), Daniela, Eduardo (com balão dizendo 8) e Fátima.

A
5
B
6
C
7
D
8
E
9

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Resolução comentada

Chame de A, B, C, D, E, F os números favoritos de Afonso, Bernardo, Camila, Daniela, Eduardo e Fátima, na ordem da roda. Cada criança diz a soma dos números dos dois vizinhos.

Afonso tem como vizinhos Fátima e Bernardo: F + B = 16.
Camila tem como vizinhos Bernardo e Daniela: B + D = 12.
Eduardo tem como vizinhos Daniela e Fátima: D + F = 8.

Queremos F. Esse é um sistema com três equações e três incógnitas.

Somando as três equações: 2(B + D + F) = 16 + 12 + 8 = 36, logo B + D + F = 18.
Para isolar F, subtraímos de 18 a soma que não contém F, que é B + D = 12:

F = 18 - 12 = 6.

Verificação: F = 6 dá B = 10 e D = 2. Então B + D = 12 ✔, F + B = 16 ✔ e D + F = 8 ✔.

O número favorito de Fátima é 6.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma solução do sistema; com F=5 as somas 16, 12 e 8 não fecham.
CCom F=7 teríamos B=9 e D=1, e então B+D=10, não 12.
DConfunde o número de Fátima com a soma D+F=8 dita por Eduardo.
ECom F=9 teríamos B=7 e D=-1, o que não fecha com B+D=12.

Assunto: Sistemas lineares.

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Questão 10 no caderno Nível 2 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 2. Prova oficial ↗