Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Quando o cachorro corre 10 m, o coelho corre 1 m. Então a velocidade do cachorro é 10 vezes a do coelho, e os dois correm durante o mesmo tempo.

Chame de x a distância que o cachorro percorre até alcançá-lo. Nesse tempo, o coelho percorre \frac{x}{10}.

O cachorro alcança o coelho quando a distância que ele percorreu é igual à distância inicial de 10 m mais o que o coelho percorreu:

1. x = 10 + \frac{x}{10}
2. Multiplicando por 10: 10x = 100 + x
3. 9x = 100
4. x = \frac{100}{9} = 11{,}\overline{1}\ \text{m}

Conferindo: o coelho corre \frac{100}{90} = 1{,}\overline{1} m, e 10 + 1{,}\overline{1} = 11{,}\overline{1} m, que é a posição do cachorro. As contas fecham.

Como 11 < 11{,}\overline{1} < 12, o cachorro corre mais de onze e menos de doze metros.

O argumento de que ele "nunca alcança" (cada vez que chega onde o coelho estava, o coelho já avançou um pouco) não vale: essas distâncias formam uma soma 10 + 1 + 0{,}1 + \dots que é finita e vale 11{,}\overline{1}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana por parar na primeira etapa (10+1=11), e a E engana pelo paradoxo de Zenão, achando que infinitas etapas implicam distância infinita.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AIgnora que o coelho continua correndo; 10 m é só a distância inicial.
• BSubestima o total: o cachorro já percorre 10 m só para chegar ao ponto de partida do coelho e ainda precisa de mais.
• CConsidera só o primeiro metro extra do coelho e esquece os avanços seguintes (0{,}1; 0{,}01; ...).
• EAcha que a perseguição é infinita, mas a soma infinita de distâncias converge para \frac{100}{9} m.

Assunto: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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