Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2009

Question

Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa o sinal *. Ela funciona assim:

a * b = (a + 1) \times (b - 1)

Por exemplo, 3 * 5 = (3 + 1) \times (5 - 1) = 16 . Se a e b são inteiros positivos tais que a * b = 24 e b * a = 30, quanto vale a + b?

A
11
B
12
C
15
D
16
E
18

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2009

Nível 2 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa o sinal *. Ela funciona assim:

a * b = (a + 1) \times (b - 1)

Por exemplo, 3 * 5 = (3 + 1) \times (5 - 1) = 16 . Se a e b são inteiros positivos tais que a * b = 24 e b * a = 30, quanto vale a + b?

A
11
B
12
C
15
D
16
E
18

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Escrevendo 24 como produto de inteiros positivos de todas as maneiras possíveis, podemos investigar todas as possibilidades para a e b em a * b = (a+1) \times (b-1) = 24 e testá-las em b * a = (b+1) \times (a-1) = 30 para achar os possíveis valores de a e b. Fazemos isto na tabela a seguir.

24 =	a	b	(b+1) \times (a-1)
1 \times 24	0	25	não considerar pois a > 0
2 \times 12	1	13	0
3 \times 8	2	9	10
4 \times 6	3	7	16
6 \times 4	5	5	25
8 \times 3	7	4	30
12 \times 2	11	3	33
24 \times 1	23	2	46

Logo a = 7 e b = 4, donde a+b = 11.

De modo mais algébrico, podemos resolver este problema como segue. Temos a * b = (a+1)(b-1) = ab-a+b-1 = 24 e b * a = (b+1)(a-1) = ab+a-b-1 = 30. Somando estas duas expressões, obtemos 2ab-2 = 54 e segue que ab = 28. De modo análogo ao anterior, geramos as possibilidades (1,28), (2,14), (4,7), (7,4), (14,2) e (28,1) para (a,b) e verificamos que apenas a = 7 e b = 4 satisfazem a * b = 24 e b * a = 30.

Para aqueles que já sabem resolver equações de segundo grau, notamos que subtraindo ab-a+b-1 = 24 de ab+a-b-1 = 30 obtemos 2a-2b = 6, ou seja, a-b = 3. Logo a = b+3 e, substituindo em ab = 28 temos b^2 - 3b - 28 = 0. Esta equação tem raízes b = 4 e b = -7; como só nos interessa a raiz positiva, temos b = 4 e então a = 7.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

A operação manda somar 1 ao primeiro número, subtrair 1 do segundo e multiplicar. Vamos aplicá-la nas duas condições.

a * b = (a+1)(b-1) = ab - a + b - 1 = 24
b * a = (b+1)(a-1) = ab - b + a - 1 = 30

Somando as duas equações, -a+b e a-b se cancelam:

2ab - 2 = 54 \Rightarrow ab = 28

Subtraindo a segunda da primeira:

(-a+b) - (-b+a) = 24 - 30 \Rightarrow 2(b-a) = -6 \Rightarrow a - b = 3

Agora precisamos de inteiros positivos com produto 28 e diferença a-b=3. Os pares de fatores de 28 são (1,28), (2,14) e (4,7). Só o par 4 e 7 tem diferença 3, e como a > b, temos a = 7 e b = 4.

Conferindo:

a * b = 8 \times 3 = 24 ✓
b * a = 5 \times 6 = 30 ✓

Logo, a + b = 7 + 4 = 11.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhum par de inteiros positivos que satisfaça as duas igualdades.
CNão corresponde a nenhum par que satisfaça as duas igualdades; resulta de erro de conta ao resolver o sistema.
DNão satisfaz as condições; vem de usar um par que não tem produto 28 com diferença 3.
ENão satisfaz as condições; nenhum par de inteiros positivos com soma 18 serve.

Assuntos: Equações do 1º grau e problemas, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Esta questão também caiu em

OBMEP 2009 · Questão 3 (Nível 3)Por exemplo, . Se a e b são inteiros positivos tais que e , quanto vale ?

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Questão 6 no caderno Nível 2 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 2. Prova oficial ↗