Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa o sinal * . Ela funciona assim:

a * b = (a + 1) \times (b - 1)

Por exemplo, 3 * 5 = (3 + 1) \times (5 - 1) = 16 . Se a e b são inteiros positivos tais que a * b = 24 e b * a = 30, quanto vale a + b?

A
11
B
12
C
15
D
16
E
18

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa o sinal * . Ela funciona assim:

a * b = (a + 1) \times (b - 1)

Por exemplo, 3 * 5 = (3 + 1) \times (5 - 1) = 16 . Se a e b são inteiros positivos tais que a * b = 24 e b * a = 30, quanto vale a + b?

A
11
B
12
C
15
D
16
E
18

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Escrevendo 24 como produto de inteiros positivos de todas as maneiras possíveis, podemos investigar todas as possibilidades para a e b em a * b = (a + 1) \times (b - 1) = 24 e testá-las em b * a = (b + 1) \times (a - 1) = 30 para achar os possíveis valores de a e b. Vamos lá:

24 =	a	b	(b + 1) \times (a - 1)
1 \times 24	0	25	não considerar pois a > 0
2 \times 12	1	13	0
3 \times 8	2	9	10
4 \times 6	3	7	16
6 \times 4	5	5	25
8 \times 3	7	4	30
12 \times 2	11	3	33
24 \times 1	23	2	46

Logo a = 7 e b = 4, donde a + b = 11.

De modo mais algébrico, podemos resolver este problema como segue. Temos a * b = (a + 1)(b - 1) = ab - a + b - 1 = 24 e b * a = (b + 1)(a - 1) = ab + a - b - 1 = 30. Somando estas duas expressões, obtemos 2ab - 2 = 54 e segue que ab = 28. De modo análogo ao anterior, geramos as possibilidades (1,28), (2,14), (4,7), (7,4), (14,2) e (28,1) para (a,b) e verificamos que apenas a = 7 e b = 4 satisfazem a * b = 24 e b * a = 30.

Alternativamente, notamos que subtraindo ab - a + b - 1 = 24 de ab + a - b - 1 = 30 obtemos 2a - 2b = 6, ou seja, a - b = 3. Logo a = b + 3 e, substituindo em ab = 28 temos b^2 - 3b - 28 = 0. Esta equação tem raízes b = 4 e b = -7; como só nos interessa a raiz positiva, temos b = 4 e então a = 7.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

A operação troca a ordem dos papéis: em a*b, soma-se 1 ao primeiro número e subtrai-se 1 do segundo. Então:

a*b=(a+1)(b-1)=24
b*a=(b+1)(a-1)=30

Desenvolvendo cada produto:

(a+1)(b-1)=ab-a+b-1=24

(b+1)(a-1)=ab-b+a-1=30

Somando as duas equações, os termos -a+b e +a-b se cancelam:

2ab-2=54 \Rightarrow ab=28

Subtraindo a primeira da segunda:

(-b+a)-(-a+b)=6 \Rightarrow 2(a-b)=6 \Rightarrow a-b=3

Como a e b são inteiros positivos com ab=28 e a-b=3, testamos os divisores de 28: o par (7,4) dá 7\cdot4=28 e 7-4=3. Serve.

Conferindo: 7*4=8\cdot3=24 e 4*7=5\cdot6=30. Está correto.

Portanto a+b=7+4=11.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhum par com ab=28 e a-b=3; resulta de erro de conta ao resolver o sistema.
CNão é soma de um par que satisfaz ab=28 e a-b=3.
DValor sem relação com o sistema; os pares de ab=28 somam 11, 16 (não, 16 é 12+4) ou outros que não cumprem a-b=3.
ENão satisfaz as duas condições; nenhum par com a-b=3 e ab=28 soma 18.

Assuntos: Equações do 1º grau e problemas, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2009 · Questão 6 (Nível 2)Por exemplo, . Se a e b são inteiros positivos tais que e , quanto vale ?

Ver como caiu na prova

Questão 3 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗