Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Vamos usar a ideia de vazão: a fração do tanque que cada torneira enche por hora.

• Torneira 1: enche o tanque em 8 h, então enche \frac{1}{8} do tanque por hora.
• Torneira 2: enche o tanque em 4 h, então enche \frac{1}{4} do tanque por hora.

Passo a passo:

1. Nas 2 primeiras horas (de 12h às 14h), só a torneira 1 funciona: 2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4} do tanque.
2. Falta 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} do tanque.
3. Com as duas abertas, a vazão conjunta é \frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3}{8} do tanque por hora.
4. Tempo para encher o restante:
   t=\frac{3/4}{3/8}=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3}=2\ \text{h}

O tanque fica cheio 2 h depois das 14h, isto é, às 16h.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ o horário em que a segunda torneira é aberta, quando o tanque ainda tem só \frac{1}{4} de água.
• BNão corresponde a nenhum cálculo correto; o tempo restante não é 2,5 h.
• CContaria só 1 h com as duas torneiras, o que enche apenas \frac{3}{8} do que falta.
• DDaria 1,5 h com as duas abertas, que não completa os \frac{3}{4} restantes.

Assunto: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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