Questão 2 (Nível 1) da OBMEP 2009

Resolução comentada

A área sombreada é a diferença entre a área do octógono externo e a do octógono interno. Cada quadradinho da malha tem área 1\cdot 1=1\ \text{cm}^2.

Observe os intervalos entre as linhas da figura: o contorno externo cabe em um quadrado de lado 7\ \text{cm}, enquanto o interno cabe em um quadrado de lado 5\ \text{cm}.

1. Para obter o octógono externo, retiramos dos cantos do quadrado quatro triângulos retângulos. Cada um tem catetos de 1\ \text{cm} e área \frac{1\cdot1}{2}=\frac12\ \text{cm}^2. Assim:
   

   A_{\text{externo}}=7^2-4\cdot\frac12=49-2=47\ \text{cm}^2.

2. No octógono interno, os quatro triângulos retirados têm as mesmas medidas:
   

   A_{\text{interno}}=5^2-4\cdot\frac12=25-2=23\ \text{cm}^2.

3. Subtraindo a região branca da área externa:
   

   A_{\text{sombreada}}=47-23=24\ \text{cm}^2.

Como os recortes dos cantos têm a mesma área nos dois contornos, também poderíamos calcular diretamente 7^2-5^2=24.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AO valor de 16 cm² é menor que a diferença entre as áreas externa e interna, que é 24 cm².
• BO valor de 18 cm² não corresponde à subtração das áreas dos dois octógonos.
• CO valor de 20 cm² resulta de usar quadrados de lados 6 e 4 cm, mas a figura mostra lados de 7 e 5 cm.
• EO valor de 30 cm² supera a área obtida ao retirar os 23 cm² internos dos 47 cm² externos.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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