Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

O semicírculo da figura tem centro O e diâmetro PQ = 2\text{ cm}. O raio OR é perpendicular a PQ. Por um ponto qualquer M de OR traça-se a corda AB perpendicular a OR. Sejam x o comprimento de RM, em cm, e y a área do quadrado de lado AB, em \text{cm}^2. Qual dos gráficos abaixo expressa a relação entre x e y?

Semicírculo de diâmetro vertical PQ e centro O, com raio horizontal OR perpendicular a PQ. O ponto M está sobre OR com RM = x. A corda vertical AB passa por M perpendicular a OR, formando a base de um quadrado sombreado à esquerda com o texto Área = y.

A
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Answer 1

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Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Função quadrática

O semicírculo da figura tem centro O e diâmetro PQ = 2\text{ cm}. O raio OR é perpendicular a PQ. Por um ponto qualquer M de OR traça-se a corda AB perpendicular a OR. Sejam x o comprimento de RM, em cm, e y a área do quadrado de lado AB, em \text{cm}^2. Qual dos gráficos abaixo expressa a relação entre x e y?

Semicírculo de diâmetro vertical PQ e centro O, com raio horizontal OR perpendicular a PQ. O ponto M está sobre OR com RM = x. A corda vertical AB passa por M perpendicular a OR, formando a base de um quadrado sombreado à esquerda com o texto Área = y.

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Como o diâmetro do círculo é 2, seu raio é 1. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OMA, obtemos AM^2 = 1^2 - (1 - x)^2 = 2x - x^2. Esta é a área de um quadrado de lado AM = \frac{AB}{2}: a área do quadrado de lado AB é então y = 4(2x - x^2) = 8x - 4x^2.

[Figura: semicírculo de centro O e diâmetro vertical com extremidades P e Q. O raio horizontal OR é interceptado perpendicularmente pelo segmento AB no ponto M, com o segmento RM em destaque medindo x. O segmento tracejado OA une o centro O ao ponto A, formando o triângulo retângulo OMA. À esquerda do segmento AB, há uma região quadrada sombreada com o rótulo "Área = y".]

Notamos que como x varia em OR, temos 0 \le x \le 1; para x = 0 temos y = 0 e para x = 1 temos y = 4. O gráfico de y = 8x - 4x^2 é uma parábola com concavidade para baixo, pois o coeficiente de x^2 é negativo; este gráfico está representado na alternativa C).

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Resolução comentada

O raio do semicírculo é 1\ \text{cm}, pois PQ = 2\ \text{cm}. Como RM = x e OR = 1, temos OM = 1 - x.

No triângulo retângulo OMA, o ângulo reto está em M, a hipotenusa é OA = 1 e os catetos são OM = 1-x e MA. Pelo teorema de Pitágoras:

MA^2 = 1 - (1-x)^2
MA^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 2x - x^2

Como M é o ponto médio da corda, AB = 2\,MA. Então:

AB^2 = 4\,MA^2 = 4(2x - x^2)

A área do quadrado de lado AB é y = AB^2, logo:

y = 8x - 4x^2 = -4x^2 + 8x, \quad 0 \le x \le 1

É uma parábola com a = -4 < 0, ou seja, de concavidade voltada para baixo. Seu vértice está em x = 1, onde y = 4.

Conferindo: em x=0, y=0; em x=1, y = 8-4 = 4 (a corda é o diâmetro, de lado 2, área 4). A curva começa na origem com inclinação positiva (y'(0)=8) e chega a (1,4) com tangente horizontal. Isso é um arco côncavo, crescente, que achata ao chegar em x=1, como no gráfico da alternativa C.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AMostra uma curva sigmoide, mas y=-4x^2+8x é uma parábola com concavidade única, para baixo.
BConcavidade para cima corresponderia a y=4x^2, mas o coeficiente de x^2 aqui é negativo.
DReta y=4x exigiria AB proporcional ao quadrado de x de forma linear, o que não ocorre.
ETem patamar e depois cresce rápido, mas a função é uma parábola simples, sem mudança de concavidade.

Assuntos: Função quadrática, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 19 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗