Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Para o maior número possível, primeiro queremos a maior quantidade de algarismos, e só depois os maiores algarismos nas primeiras posições.

O texto diz que 188 usa 16 palitos, ou seja, o 1 usa 2 e cada 8 usa 7: 2+7+7=16. Isso confere com a figura. Pela figura, o 7 tem um palito cortando o traço vertical, e o enunciado descreve 4 palitos para ele. Assim, o 7 usa 4 palitos e o 1 usa 2.

O algarismo mais barato é o 1, com 2 palitos. Com 13 palitos, o número máximo de algarismos é:

Seis algarismos 1 gastam 12 palitos e sobra 1. Para usar esse palito extra, trocamos um 1 por um algarismo de 3 palitos, mas não existe algarismo com 3 palitos. Então trocamos o primeiro 1 por um algarismo de 5 palitos (2, 3 ou 5), já que o 2 palitos mais 1 sobrando dá 3, e a troca de um 1 por um de 3 não existe. Vamos ver a troca mais forte:

1. Com 6 algarismos, o total deve ser 13, e o mínimo é 12. Sobra 1 palito.
2. Trocar um 1 (2 palitos) por um algarismo de 3 palitos: não existe.
3. Trocar dois 1 (4 palitos) por algarismos que somem 5 palitos: não existe, pois o mínimo é 2 por algarismo e os custos possíveis são 2, 4, 5, 6, 7.
4. Trocar um 1 por um algarismo de 3 palitos é impossível, então o custo extra de 1 não pode ficar em um único algarismo. Usamos um 7 (4 palitos) no lugar de um 1 (2), gastando 2 a mais, e um custo maior não cabe.

Outra forma: com 6 algarismos, os custos somam 13, com cada custo em {2,4,5,6,7}. Uma solução é 5+2+2+2+2 = 13 com só 5 algarismos; com 6 algarismos, 2·5+3 não existe. Logo cabem no máximo 5 algarismos.

Com 5 algarismos, o primeiro deve ser o maior possível. Tentamos 8 (7 palitos): sobram 6 para 4 algarismos, e o mínimo é 8. Não cabe. Tentamos 5 algarismos, o primeiro com 5 palitos (como o 5), e os outros quatro 1 gastam 8, total 13. Mas o 7 com 4 palitos e os outros 1 com 2 palitos dão 4+2+2+2+2 = 12, e sobra 1. Então com 4 e 5 palitos: 7 (4) + 5 (5)? 7 usa 4, sobram 9 para 4 algarismos: 2+2+2+3 não existe. Logo o primeiro tem 5 palitos: 5, 3 ou 2. O maior é 5, com 8 palitos para quatro 1s: 51111.

Soma: 5+1+1+1+1=9.

Alternativa B.

Pegadinha: Escolher o maior algarismo (8) para começar parece natural, mas o número com mais algarismos vence, pois o número maior tem mais casas.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASoma menor que a do número correto, sem fundamento nas contagens de palitos.
• CCorresponde a um número com menos algarismos, que não é o maior possível.
• DUsa um algarismo maior no início, mas isso não cabe nos 13 palitos.
• EExigiria algarismos que gastam mais palitos do que os 13 disponíveis.

Assunto: Sistemas de numeração.

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