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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2009

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Patrícia escreveu, em ordem crescente, os inteiros positivos formados apenas por algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33,... Qual foi o 157o número que ela escreveu?

  1. A
    997
  2. B
    999
  3. C
    1111
  4. D
    1113
  5. E
    1115
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Vamos contar quantos números com apenas algarismos ímpares existem em cada quantidade de dígitos. Cada posição pode ser preenchida com 1, 3, 5, 7 ou 9, ou seja, 5 opções.

  1. Com 1 algarismo: 5 números.
  2. Com 2 algarismos: 5\cdot 5=25 números.
  3. Com 3 algarismos: 5^3=125 números.

Até 3 algarismos há 5+25+125=155 números. O último deles é 999, que é o 155º.

O 156º é o primeiro com 4 algarismos: 1111. O 157º é o seguinte, em ordem crescente: 1113.

Conferindo: depois de 1111 vem 1113, pois 1112 tem o algarismo 2, que é par.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A997 é o 154º número, pois o 155º é 999; erro de contagem.
  • B999 é o 155º número, o último com três algarismos.
  • C1111 é o 156º número, não o 157º.
  • E1115 seria o 158º número.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Sistemas de numeração.

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Ver como caiu na prova Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 2. Prova oficial ↗