Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Cinco trapézios isósceles iguais formam um arco, e os lados não paralelos de trapézios vizinhos coincidem. Os trapézios e os lados em comum formam, então, uma figura simétrica: a borda interna (base menor) e a externa (base maior) são partes de dois polígonos regulares de 10 lados, ou seja, o arco é metade de um decágono.

Cada trapézio tem ângulo agudo \alpha (na base maior) e obtuso 180^\circ-\alpha (na base menor).

No vértice externo, entre dois trapézios vizinhos, os dois ângulos agudos se encontram. No vértice interno, os dois ângulos obtusos se encontram.

O decágono regular tem ângulo interno:

No vértice interno do arco, os dois ângulos obtusos somam o ângulo interno do decágono formado pelas bases menores, medido do lado de fora:

Logo, 180^\circ-\alpha=108^\circ e \alpha=72^\circ.

Conferindo no vértice externo: os dois ângulos agudos somam 2\alpha=144^\circ, que é exatamente o ângulo interno do decágono regular formado pelas bases maiores. Fecha.

O ângulo indicado na figura é o ângulo agudo do trapézio, que mede 72^\circ.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem justificativa; não satisfaz 2\alpha=144^\circ.
• CNão corresponde ao ângulo interno do decágono dividido por 2.
• DValor próximo, mas 2\cdot78^\circ=156^\circ não fecha o decágono.
• EDaria 160^\circ no vértice, não o ângulo do decágono regular de 144^\circ.

Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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