Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2009

Question

No triângulo ABC temos AB = AC e os cinco segmentos marcados têm todos a mesma medida. Qual é a medida do ângulo B\hat{A}C?

A
10^\circ
B
15^\circ
C
20^\circ
D
25^\circ
E
30^\circ

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2009

Nível 2 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

No triângulo ABC temos AB = AC e os cinco segmentos marcados têm todos a mesma medida. Qual é a medida do ângulo B\hat{A}C?

A
10^\circ
B
15^\circ
C
20^\circ
D
25^\circ
E
30^\circ

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Triângulo com ângulos internos \beta e \gamma e ângulo externo \alpha estendido a partir da base.] Nesta solução vamos usar repetidamente o resultado de geometria elementar que diz que o ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes. Este resultado está ilustrado na figura ao lado e diz que \alpha = \beta + \gamma.

Vamos indicar por \delta a medida do ângulo B\hat{A}C. Como o triângulo ADE é isósceles, temos D\hat{E}A = \delta. O ângulo E\hat{D}F é externo ao triângulo ADE, e pelo resultado mencionado acima temos E\hat{D}F = \delta + \delta = 2\delta. Como o triângulo DEF é isósceles temos também E\hat{F}D = 2\delta; o ângulo F\hat{E}C, externo ao triângulo FEA, mede então 2\delta + \delta = 3\delta. Analogamente, concluímos que C\hat{B}A = 4\delta, e como o triângulo ABC é isósceles segue que B\hat{C}A = 4\delta. Logo 180^\circ = 4\delta + 4\delta + \delta = 9\delta, donde \delta = 20^\circ.

[Figura: Triângulo ABC com vértices F e D no lado BA e vértice E no lado CA, formando os triângulos conectados em zigue-zague, com medidas angulares indicadas: \delta nos vértices A e E, 2\delta em D e F, 3\delta em E e C, e 4\delta em F e B.]

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Resolução comentada

Chame \hat{A}=x e marque D o ponto da base AB ligado a C, E o ponto sobre AC, e F o ponto da base mais perto de A. Os segmentos iguais são BC=CD=DE=EF=FA. Cada triângulo isósceles tem ângulos da base iguais, e o ângulo externo de um triângulo é a soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Triângulo AFE com FA=FE: \hat{FEA}=x, então o ângulo externo em F vale \hat{DFE}=2x.
Triângulo DEF com ED=EF: \hat{EDF}=2x.
Triângulo ADE: o ângulo externo em E vale \hat{CED}=x+2x=3x.
Triângulo CDE com DC=DE: \hat{DCE}=3x.
Triângulo ADC: o ângulo externo em D vale \hat{CDB}=x+3x=4x.
Triângulo BCD com CB=CD: \hat{B}=4x e \hat{BCD}=180^\circ-8x.

Como AB=AC, os ângulos da base são iguais: \hat{ACB}=\hat{B}=4x. Mas \hat{ACB}=\hat{BCD}+\hat{DCE}, logo

4x=(180^\circ-8x)+3x \Rightarrow 9x=180^\circ \Rightarrow x=20^\circ.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor muito pequeno, que não satisfaz 9x=180^\circ.
BNão satisfaz a equação 9x=180^\circ obtida com os ângulos externos.
DNão satisfaz 9x=180^\circ; com 25^\circ o ângulo \hat{BCD} seria negativo.
ECom 30^\circ, \hat{BCD}=180^\circ-240^\circ seria negativo, impossível.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Questão 15 no caderno Nível 2 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 2. Prova oficial ↗