Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Pelas medidas da figura, a parte de cima do T tem 4 cm de largura e 2 cm de altura, e a haste tem 2 cm de largura e 2 cm de altura. Assim, o T tem 8+4=12 quadradinhos, e queremos dividi-lo em 6 retângulos 1\times 2 (dominós).

Chame de linhas 1 e 2 as de cima (colunas 1 a 4) e de linhas 3 e 4 as da haste (colunas 2 e 3). Vamos separar os casos pelos dominós verticais que ligam a linha 2 à linha 3.

1. Nenhum dominó liga a parte de cima à haste. A haste 2\times2 pode ser coberta de 2 maneiras, e o retângulo de cima 2\times 4 de 5 maneiras (padrão de Fibonacci: 1,2,3,5). Total: 2\cdot5=10.

2. Só uma coluna da haste recebe dominó vertical vindo de cima. Por exemplo, na coluna 2: o quadradinho (4,2) fica sem vizinho livre, pois (3,2) está ocupado e (4,3) teria de ser usado pelo vizinho (3,3). É impossível. A coluna 3 é simétrica. Total: 0.

3. As duas colunas recebem dominó vertical. A linha 4 da haste fica coberta por um dominó horizontal. Em cima sobram a linha 1 inteira e os quadradinhos (2,1) e (2,4). Estes dois só podem formar dominós verticais com (1,1) e (1,4), e então (1,2) e (1,3) formam um horizontal. Total: 1.

Soma: 10+0+1=11 maneiras.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AContagem incompleta: subconta as divisões do retângulo superior combinadas com a haste.
• BTambém fica abaixo do total; esquece casos ao combinar as coberturas da parte de cima e da haste.
• DConta casos impossíveis, como um único dominó vertical entre a parte de cima e a haste.
• EConta casos impossíveis ou repetidos, passando de 11.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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