Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Chame a conta de \overline{1ab}\times c=\overline{9d3}, com a, b, c e d ímpares. Os quatro algarismos manchados são a, b, c e d.

1. O algarismo das unidades de b\cdot c é 3. Com algarismos ímpares, isso só acontece em 1\cdot3, 3\cdot1, 7\cdot9 e 9\cdot7.
2. O produto está entre 900 e 999. Como 1ab\le199, se c=1 ou c=3 o produto seria no máximo 597. Então c é 7 ou 9, e b é 9 ou 7.
3. Caso c=9 e b=7: 1a7\times9 com a\ge1 dá pelo menos 117\cdot9=1053, que passa de 999. Não serve.
4. Caso c=7 e b=9: 1a9\times7=763+70a.
   • a=1: 833, que não começa com 9.
   • a=3: 973, que serve, com d=7 (ímpar).
   • a=5: 1113, que passa de 999.

A conta é 139\times7=973, e os algarismos manchados são 3, 9, 7 e 7.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde à única conta possível, 139\times7=973, cuja soma dos manchados é 26.
• BSoma 18, valor que não resulta de nenhuma conta com todos os algarismos ímpares que feche em 9\square3.
• CSoma 20, que não vem da conta correta; o resultado certo é 26.
• ESoma 28, valor acima do obtido na única solução, 26.

Assunto: Sistemas de numeração.

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