Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Chame de h a altura do retângulo de cima (largura 12) e de x a largura do retângulo sombreado. Os dois retângulos de baixo têm altura 12-h, e o outro tem largura 12-x.

O perímetro é a soma dos quatro lados, ou seja, 2\cdot(\text{base}+\text{altura}).

1. Retângulo de cima: P = 2(12+h).
2. Retângulo sombreado: P = 2\,[x+(12-h)].
3. Retângulo da direita: P = 2\,[(12-x)+(12-h)].

Igualando o sombreado ao da direita: x = 12-x, logo x=6.

Igualando o de cima ao sombreado: 12+h = x+12-h. Com x=6: 12+h = 18-h, então 2h=6 e h=3.

A altura dos retângulos de baixo é 12-3=9.

Verificação dos perímetros: cima 2(12+3)=30; sombreado 2(6+9)=30; direita 2(6+9)=30. Tudo igual.

Área do sombreado:

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhuma medida do problema; seria 6\cdot 6, usando altura errada.
• BValor sem relação com as dimensões 6 e 9 encontradas.
• CSeria 6\cdot 8, com altura incorreta (esquece de que h=3).
• EÉ a área de metade do quadrado (144/2), supondo erradamente que o retângulo sombreado ocupa metade.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Equações do 1º grau e problemas.

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