Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2008

Question

Pedrinho preencheu a tabela com números inteiros de forma que em cada linha, coluna ou diagonal, o número do meio é a média aritmética dos outros dois. Qual é a soma dos números que apareceram nas casas em cinza?

Tabela 3 por 3 com algumas casas preenchidas e outras em cinza: na primeira linha, a primeira casa é cinza, a do meio contém o número 7 e a terceira é branca e vazia; na segunda linha, a primeira casa contém o número 9, a do meio é branca e vazia e a terceira é cinza; na terceira linha, as duas primeiras casas são brancas e vazias, e a terceira contém o número 20.

A
16
B
17
C
18
D
19
E
20

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Média aritmética e ponderada

Pedrinho preencheu a tabela com números inteiros de forma que em cada linha, coluna ou diagonal, o número do meio é a média aritmética dos outros dois. Qual é a soma dos números que apareceram nas casas em cinza?

Tabela 3 por 3 com algumas casas preenchidas e outras em cinza: na primeira linha, a primeira casa é cinza, a do meio contém o número 7 e a terceira é branca e vazia; na segunda linha, a primeira casa contém o número 9, a do meio é branca e vazia e a terceira é cinza; na terceira linha, as duas primeiras casas são brancas e vazias, e a terceira contém o número 20.

A
16
B
17
C
18
D
19
E
20

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sejam x e y os números que Pedrinho colocou, respectivamente, nos cantos superior esquerdo e superior direito da tabela. Então \frac{x+y}{2}=7 , donde y=14-x . Do mesmo modo segue que o número que ele colocou no canto inferior esquerdo foi 18-x .

x	7	14-x
9	\frac{x+20}{2}=16-x
18-x		20

Finalmente, o número que ele colocou no centro da tabela pode ser escrito de duas maneiras:

a média de x e 20, que é \frac{x+20}{2} , e
a média de 14-x e 18-x , que é \frac{(14-x)+(18-x)}{2}=16-x .

Obtemos então a equação \frac{x+20}{2}=16-x , cuja solução é x=4 . Com isso, podemos completar a tabela e obtemos

4	7	10
9	12	15
14	17	20

de modo que a soma procurada é 4+15=19 .

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Chame as casas de a,b,c (linha 1), d,e,f (linha 2) e g,h,i (linha 3). Sabemos b=7, d=9 e i=20. As casas cinza são a e f.

Regra: em cada linha, coluna ou diagonal, o número do meio é a média dos outros dois. Isso vale para as 3 linhas, 3 colunas e 2 diagonais.

Diagonal a,e,i: e=\dfrac{a+20}{2}.
Coluna do meio b,e,h: e=\dfrac{7+h}{2}.
Linha do meio d,e,f: e=\dfrac{9+f}{2}.
Diagonal c,e,g e linha/coluna das bordas dão outras relações. Usamos a coluna 1 (a,d,g): 9=\dfrac{a+g}{2}, logo g=18-a. Linha 1: 7=\dfrac{a+c}{2}, logo c=14-a.
Diagonal c,e,g: 2e=c+g=(14-a)+(18-a)=32-2a, então e=16-a.
Igualando com o passo 1: \dfrac{a+20}{2}=16-a, então a+20=32-2a, 3a=12, a=4.
Assim e=12. Do passo 3: 12=\dfrac{9+f}{2}, então f=15.

Conferindo: c=10, g=14; coluna 3: c,f,i=10,15,20, ok (15 é a média).

Soma das casas cinza: a+f=4+15=19.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AResultado de erro de conta ao resolver as equações; não satisfaz as condições da tabela.
BValor que não corresponde a a=4 e f=15; vem de erro na média.
CSoma incorreta, resultante de valores errados para as casas cinza.
EPassa de 19; ocorre ao errar o valor de a ou de f na verificação.

Assuntos: Média aritmética e ponderada, Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 10 no caderno Nível 3 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗