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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2008

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Ana e Daniela brincam de escrever números no quadro-negro. A brincadeira começa com cada uma delas escrevendo um número natural. Depois disso:

  • quem tiver o menor número mantém esse número;
  • quem tiver escrito o maior número troca-o pela diferença entre seu número e o número da outra.

Elas repetem esse procedimento até que os dois números escritos no quadro-negro fiquem iguais. Se Ana começou escrevendo 100 e Daniela 88, qual o número que vai ficar escrito no quadro-negro ao final da brincadeira?

  1. A
    2
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    10
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Resolução comentada

Resolução comentada

Esse procedimento é o algoritmo de Euclides por subtrações sucessivas: o número final é o \text{mdc} dos dois números iniciais. Isso vale porque, ao trocar o maior número por (maior − menor), os divisores comuns dos dois números não mudam. Quando os dois ficam iguais, esse valor é o maior divisor comum.

Vamos simular, escrevendo (Ana, Daniela):

  1. (100, 88): o maior é 100, que vira 100-88=12, e temos (12, 88).
  2. (12, 88): 88-12=76, e temos (12, 76).
  3. (12, 76): 76-12=64, e temos (12, 64).
  4. (12, 64): 64-12=52, e temos (12, 52).
  5. (12, 52): 52-12=40, e temos (12, 40).
  6. (12, 40): 40-12=28, e temos (12, 28).
  7. (12, 28): 28-12=16, e temos (12, 16).
  8. (12, 16): 16-12=4, e temos (12, 4).
  9. (12, 4): 12-4=8, e temos (8, 4).
  10. (8, 4): 8-4=4, e temos (4, 4).

Os números ficam iguais a 4.

Conferindo pelo mdc: 100 = 2^2\cdot 5^2 e 88 = 2^3\cdot 11, então \text{mdc}=2^2=4.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • APara no mdc de apenas um fator 2, ignorando que 2^2 divide 100 e 88.
  • C6 não divide 100, então não pode ser o resultado das subtrações.
  • D8 divide 88, mas não divide 100; o 8 aparece só como valor intermediário.
  • E10 não divide 88, logo não pode ser o mdc.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Ver como caiu na prova Questão 9 no caderno Nível 2 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 2. Prova oficial ↗