Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2008

Resolução comentada

Vamos contar por inclusão e exclusão: números que são múltiplos de 7, mais os que têm algarismo 7, menos os que estão nos dois grupos (para não contar duas vezes).

1. Múltiplos de 7 de 1 a 100: \lfloor 100/7 \rfloor = 14 (de 7 até 98).

2. Números com algarismo 7 de 1 a 100:

• unidade 7: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97, ou seja, 10 números;
• dezena 7: 70 a 79, ou seja, 10 números, dos quais o 77 já foi contado.

Total: 10 + 10 - 1 = 19 números.

3. Números nos dois grupos (múltiplos de 7 com algarismo 7): entre os múltiplos de 7, olhamos os que têm algarismo 7: 7, 70, 77, 84? Não. Conferindo: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. Têm algarismo 7: 7, 70 e 77. Total: 3.

4. Lista de Daniel: 14 + 19 - 3 = 30.

Conferindo: os múltiplos de 7 sem algarismo 7 são 14 - 3 = 11, e os 19 com algarismo 7 somam 11 + 19 = 30.

Alternativa C.

Pegadinha: Os números que são múltiplos de 7 e também têm algarismo 7 (7, 70 e 77) são contados duas vezes se apenas somarmos os dois grupos; as alternativas próximas vêm de descontar um número a mais ou a menos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASubtrai demais ou conta menos números com algarismo 7; o total correto é 30.
• BErra por um na contagem, por exemplo esquecendo o 70 ou contando o 77 só uma vez de forma errada.
• DSubtrai só 2 números da interseção (esquece que 7, 70 e 77 estão nos dois grupos).
• ESubtrai apenas 1 da interseção, ou conta o 77 duas vezes nos números com algarismo 7.

Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Divisibilidade, MMC e MDC.

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