Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2008

Resolução comentada

Um retângulo formado por quadradinhos tem a linhas e b colunas, e o total de quadradinhos é a \times b. Para 12 quadradinhos, os retângulos são 1\times12, 2\times6 e 3\times4. Cada um corresponde a um par de divisores de 12 cujo produto é 12. O retângulo 4\times3 é o mesmo que 3\times4, só girado, então não conta como outro.

Para 60 quadradinhos, basta achar os pares de números naturais com produto 60, sem repetir pares que só trocam a ordem.

Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Pares com produto 60:

1. 1\times60
2. 2\times30
3. 3\times20
4. 4\times15
5. 5\times12
6. 6\times10

Os 12 divisores formam 12 \div 2 = 6 pares. Como 60 não é quadrado perfeito, nenhum par tem dois números iguais, e todos os pares são distintos.

Portanto, há 6 retângulos diferentes.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Alista poucos divisores e esquece vários pares, como 4\times15 e 5\times12.
• Bdeixa de contar dois pares de divisores.
• Cesquece um dos pares, por exemplo 6\times10 ou 1\times60.
• Econta além dos 6 pares possíveis, talvez repetindo algum par com a ordem trocada.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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