Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2008

Question

Ronaldo quer cercar completamente um terreno retangular de 900\text{ m}^2. Ao calcular o comprimento da cerca ele se enganou, fez os cálculos como se o terreno fosse quadrado e comprou 2 metros de cerca a menos que o necessário. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno?

A
2 m
B
4 m
C
7 m
D
9 m
E
11 m

Answer 1

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Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Equação do 2º grau

Ronaldo quer cercar completamente um terreno retangular de 900\text{ m}^2. Ao calcular o comprimento da cerca ele se enganou, fez os cálculos como se o terreno fosse quadrado e comprou 2 metros de cerca a menos que o necessário. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno?

A
2 m
B
4 m
C
7 m
D
9 m
E
11 m

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Pensando que o terreno fosse quadrado, Ronaldo calculou seu lado como \sqrt{900} = 30 metros, e comprou 4 \times 30 = 120 metros de cerca. Mas ele precisaria de 120+2 = 122 metros de cerca, que é o perímetro do terreno. Se a é o comprimento e b a largura do terreno (supomos a > b), temos as equações 2(a+b) = 122 , que expressa o perímetro, e ab = 900 , que expressa a área. Logo a+b = 61 e ab = 900 , logo a e b são então raízes de x^2 - 61x + 900 = 0 As raízes dessa equação são a = 36 e b = 25 , donde a - b = 11 .

Uma outra maneira de determinar a-b é através da identidade (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab, onde

(a-b)^2 = 61^2 - 4 \times 900 = 3721 - 3600 = 121

ou seja a-b = \sqrt{121} = 11.

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Resolução comentada

Se o terreno fosse quadrado com área de 900\ \text{m}^2, o lado seria \sqrt{900}=30\ \text{m} e o perímetro, 4\times 30 = 120\ \text{m}. Foi isso que Ronaldo comprou.

Como faltaram 2 m, o perímetro real do retângulo é 120+2=122\ \text{m}. Chamando de x o comprimento e y a largura:

Perímetro: 2(x+y)=122, logo x+y=61.
Área: xy=900.

Queremos x-y. Use a identidade (x-y)^2=(x+y)^2-4xy:

(x-y)^2=61^2-4\cdot 900=3721-3600=121

Portanto x-y=\sqrt{121}=11\ \text{m}.

Conferindo: x+y=61 e x-y=11 dão x=36 e y=25, e 36\times 25=900. Está correto.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa só os 2 m de diferença no perímetro, sem relacionar com a área.
BDivide ou dobra o valor da cerca faltante sem usar a área de 900 m².
CValor sem base no sistema; não satisfaz (x-y)^2=121.
DValor sem base no sistema; não satisfaz (x-y)^2=121.

Assuntos: Equação do 2º grau, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗