Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

A figura mostra um quadrado ABCD de lado 1\text{ cm} e arcos de circunferência DE, EF, FG e GH com centros A, B, C e D, respectivamente. Qual é a soma dos comprimentos desses arcos?

Quadrado ABCD com arcos de circunferência DE, EF, FG e GH formando uma espiral em torno dele, com centros sucessivos nos vértices A, B, C e D. Linhas tracejadas prolongam os lados do quadrado até os pontos E, F, G e H.

  1. A
    5\pi\text{ cm}
  2. B
    6\pi\text{ cm}
  3. C
    7\pi\text{ cm}
  4. D
    8\pi\text{ cm}
  5. E
    9\pi\text{ cm}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Resolução comentada

Cada arco é um quarto de circunferência (90°), pois os pontos E, F, G e H estão nos prolongamentos dos lados do quadrado, que são perpendiculares entre si. O comprimento de um quarto de circunferência de raio r é \frac{2\pi r}{4}=\frac{\pi r}{2}.

Agora é preciso achar o raio de cada arco, olhando a figura:

  1. Arco DE, centro A: raio AD = 1. Comprimento: \frac{\pi}{2}.
  2. Arco EF, centro B: E está no prolongamento de BA, além de A, com AE=1 (raio anterior). Então BE = 1+1 = 2. Comprimento: \frac{2\pi}{2}=\pi.
  3. Arco FG, centro C: F está no prolongamento de CB, com BF=2. Então CF = 1+2 = 3. Comprimento: \frac{3\pi}{2}.
  4. Arco GH, centro D: G está no prolongamento de DC, com CG=3. Então DG = 1+3 = 4. Comprimento: \frac{4\pi}{2}=2\pi.

Soma dos comprimentos:

\frac{\pi}{2}+\pi+\frac{3\pi}{2}+2\pi=\frac{(1+2+3+4)\pi}{2}=\frac{10\pi}{2}=5\pi\ \text{cm}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErra os raios ou soma a mais, não chegando em \frac{10\pi}{2}.
  • CValor sem relação com os raios 1, 2, 3 e 4 dos quartos de circunferência.
  • DValor sem relação com os raios 1, 2, 3 e 4; não corresponde à soma correta.
  • EValor excessivo, provavelmente por usar comprimentos de circunferência maiores que um quarto.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno Nível 3 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗