Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2008

Resolução comentada

Seja n o número de alunos da turma. Como as 96 balas seriam repartidas igualmente sem sobrar nenhuma, n é divisor de 96.

Sem Emília, ficam n-1 alunos. A professora dá o mesmo número de balas a cada um e sobram 5. Então as balas distribuídas são 96-5=91, e 91 é divisível por n-1.

Assim, n-1 divide 91. Como 91 = 7\cdot 13, os divisores de 91 são 1, 7, 13 e 91.

Isso dá estas possibilidades para n:

1. n-1=1 \Rightarrow n=2, que divide 96, mas não está nas alternativas.
2. n-1=7 \Rightarrow n=8, e 96\div 8=12, exato.
3. n-1=13 \Rightarrow n=14, mas 14 não divide 96.
4. n-1=91 \Rightarrow n=92, que não divide 96.

Existe ainda uma condição: o resto 5 precisa ser menor que o número de alunos presentes, ou seja, n-1>5. Isso elimina n=2 e deixa só n=8.

Conferindo: com 7 alunos, cada um recebe 13 balas, o que usa 7\cdot 13=91 balas, e sobram 96-91=5.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A6 divide 96, mas com 5 alunos presentes 96 dá resto 1, não 5.
• C12 divide 96, mas 91 não é divisível por 11 (96 dividido por 11 dá resto 8).
• D14 é divisor de 91+1 mas não de 96, então a divisão inicial não seria exata.
• E16 divide 96, mas com 15 alunos o resto é 6, não 5.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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