Questão 5 (Nível 2) da OBMEP 2008

Question

Carlos poderá aposentar-se quando a soma de sua idade com o número de anos que ele trabalhou for 100. Quando Carlos fez 41 anos, ele já havia trabalhado 15 anos. Qual é a idade mínima que ele deverá ter para poder se aposentar?

A
59
B
60
C
61
D
62
E
63

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da OBMEP 2008

Nível 2 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Carlos poderá aposentar-se quando a soma de sua idade com o número de anos que ele trabalhou for 100. Quando Carlos fez 41 anos, ele já havia trabalhado 15 anos. Qual é a idade mínima que ele deverá ter para poder se aposentar?

A
59
B
60
C
61
D
62
E
63

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Carlos começou a trabalhar com 41-15=26 anos. Se y representa o número total de anos que ele trabalhará até se aposentar, então sua idade ao se aposentar será 26+y, e portanto 26+y+y=100. Segue que y = \frac{100-26}{2} = 37 . Logo ele poderá se aposentar com 26+37=63 anos.

Outra solução: Atualmente a idade do Carlos mais os anos que ele já trabalhou somam 41+15 = 56 . Cada ano a mais que o Carlos trabalhar acrescentará 2 a este total. Como 100-56 = 44 , ele deve trabalhar mais \frac{44}{2} = 22 anos para atingir a soma 100. Ao final deste período ele terá então 41+22 = 63 anos de idade.

Equivalentemente, se Carlos trabalhar mais x anos, a soma de sua idade ao se aposentar com os anos trabalhados será de (41+x)+(15+x) = 56+2x . Para que essa soma seja 100, devemos ter 56+2x = 100 , donde 2x = 44 e então x = 22 , como antes.

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Resolução comentada

A condição para se aposentar é: idade + tempo de trabalho = 100.

Quando Carlos tinha 41 anos, ele já tinha 15 anos de trabalho. A soma naquele momento era:

41 + 15 = 56

Faltam, então, 100 - 56 = 44 pontos para chegar a 100.

O ponto-chave: a cada ano que passa, a idade aumenta 1 e o tempo de trabalho também aumenta 1 (supondo que ele continue trabalhando). Logo, a soma cresce 2 por ano.

Para ganhar 44 pontos, são necessários:

\frac{44}{2} = 22 \text{ anos}

A idade dele será:

41 + 22 = 63

Conferindo: com 63 anos, ele terá 15 + 22 = 37 anos de trabalho, e 63 + 37 = 100. ✓

Como a soma só atinge 100 nesse momento, essa é a idade mínima.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa que engana é a (A)/(D): quem esquece que a soma aumenta 2 por ano (idade e tempo de trabalho) e usa 1 por ano chega a 44 anos a mais, ou seja, 85, fora das opções; por isso há alternativas próximas que parecem plausíveis.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera que a soma cresce 1 por ano e subtrai de forma errada, chegando a uma idade muito baixa.
BNão corresponde a nenhum raciocínio correto; com 60 anos a soma seria 94.
CCom 61 anos a soma seria 96, ainda menor que 100.
DCom 62 anos a soma seria 98, ainda faltam 2 pontos.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 5 no caderno Nível 2 da OBMEP 2008

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