Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2008

Question

Carlos poderá aposentar-se quando a soma de sua idade com o número de anos que ele trabalhou for 100. Quando Carlos fez 41 anos, ele já havia trabalhado 15 anos. Qual é a idade mínima que ele deverá ter para poder se aposentar?

A
59
B
60
C
61
D
62
E
63

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Carlos poderá aposentar-se quando a soma de sua idade com o número de anos que ele trabalhou for 100. Quando Carlos fez 41 anos, ele já havia trabalhado 15 anos. Qual é a idade mínima que ele deverá ter para poder se aposentar?

A
59
B
60
C
61
D
62
E
63

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Carlos começou a trabalhar com 41-15=26 anos. Se y representa o número total de anos que ele trabalhará até se aposentar, então sua idade ao se aposentar será 26+y, e portanto 26+y+y=100. Segue que y = \frac{100 - 26}{2} = 37 . Logo ele poderá se aposentar com 26+37=63 anos.

Outra solução: Atualmente a idade do Carlos mais os anos que ele já trabalhou somam 41+15 = 56 . Cada ano a mais que o Carlos trabalhar acrescentará 2 a este total. Como 100 - 56 = 44 , ele deve trabalhar mais \frac{44}{2} = 22 anos para atingir a soma 100. Ao final deste período ele terá então 41+22 = 63 anos de idade. Equivalentemente, se Carlos trabalhar mais x anos, a soma de sua idade ao se aposentar com os anos trabalhados será de (41 + x) + (15 + x) = 56 + 2x . Para que essa soma seja 100, devemos ter 56 + 2x = 100 , donde 2x = 44 e então x = 22 , como antes.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

A regra da aposentadoria usa a soma idade + anos de trabalho = 100. Precisamos ver como essa soma muda com o tempo.

Aos 41 anos, Carlos tinha 15 anos de trabalho. A soma era 41 + 15 = 56.
A cada ano que passa, a idade aumenta 1 e o tempo de trabalho aumenta 1, desde que ele continue trabalhando sem parar. Logo, a soma aumenta 2 por ano.
Faltam 100 - 56 = 44 pontos para chegar a 100.
Como a soma sobe 2 por ano, são necessários 44 \div 2 = 22 anos.
A idade será 41 + 22 = 63 anos.

Conferindo: aos 63 anos, ele terá trabalhado 15 + 22 = 37 anos, e 63 + 37 = 100. Está correto.

O erro comum é achar que a soma sobe só 1 por ano, pois cada ano conta duas vezes: na idade e no tempo de serviço.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana quem calcula 100-41=59 e esquece que o tempo de trabalho também aumenta a cada ano.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubtrai 41 de 100 e obtém 59, ignorando que o tempo de trabalho também cresce.
BNão corresponde a nenhum cálculo correto; aos 60 anos a soma seria 94.
CAos 61 anos a soma seria 96, ainda menor que 100.
DAos 62 anos a soma seria 98, ainda falta 2.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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