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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2008

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

As peças da figura 1 são feitas de quadradinhos de cartolina cinza de um lado e branca do outro. A figura 3 mostra uma maneira de encaixar essas peças com o lado cinza para cima nos quatro quadrados da figura 2. De quantas maneiras diferentes é possível fazer isso?

Figura 1 mostrando quatro peças cinzas formadas por quadradinhos (uma em formato de H com 7 quadradinhos, uma em formato de U com 7 quadradinhos, uma em formato de Z alongado com 5 quadradinhos e uma assimétrica com 7 quadradinhos) e Figura 2 mostrando um quadro com quatro quadrados vazios numerados de 1 a 4.

Figura 3 mostrando o quadro com os quatro quadrados numerados de 1 a 4 preenchidos com as quatro peças da Figura 1 rotacionadas ou refletidas.

  1. A
    1024
  2. B
    1536
  3. C
    2048
  4. D
    3072
  5. E
    4096
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Cada quadrado da figura 2 comporta uma peça inscrita em uma grade 3\times 3, e todas as peças da figura 1 cabem nessa grade. A peça deve ficar com o lado cinza para cima, então ela não pode ser virada do avesso (isso mostraria o lado branco). Só são permitidas rotações de 90^\circ.

A conta tem duas partes.

  1. Distribuir as 4 peças nos 4 quadrados: 4! = 24 maneiras.
  2. Escolher a orientação de cada peça, contando só as posições diferentes por rotação:
    • H: tem simetria de 180^\circ, então são 2 posições.
    • U: não tem simetria de rotação, então são 4 posições.
    • Z alongado (5 quadradinhos): tem simetria de 180^\circ, então são 2 posições.
    • Peça assimétrica: são 4 posições.

O número de orientações é 2\cdot 4\cdot 2\cdot 4 = 64.

Pelo princípio multiplicativo, o total é 24\cdot 64 = 1536.

Alternativa B.

Pegadinha: Virar a peça do avesso não vale, pois o lado cinza deve ficar para cima; além disso, H e Z têm simetria de 180^\circ e só têm 2 posições distintas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem base na contagem; não corresponde a 24\cdot 64.
  • CSupõe mais orientações do que as rotações distintas, por exemplo contando a simetria de 180^\circ de H e Z como duas posições diferentes.
  • DSupõe 128 orientações, como se alguma peça com simetria tivesse 4 posições distintas.
  • EConta 4 rotações para todas as peças (4^4=256) e multiplica por 24, ignorando as simetrias de H e Z, e ainda obtém valor errado.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Nível 2 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 2. Prova oficial ↗