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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma papelaria monta estojos. Dentro de cada estojo são colocadas 3 canetas, que podem ser azuis ou vermelhas, numeradas com 1, 2 e 3. Cada estojo recebe uma etiqueta com a letra A se as cores das canetas 1 e 2 são iguais, uma com a letra B se as cores das canetas 1 e 3 são iguais e uma com a letra C se as cores das canetas 2 e 3 são iguais (o mesmo estojo pode receber mais de uma etiqueta). Em certo dia foram utilizadas 120 etiquetas A, 150 etiquetas B e 200 etiquetas C, e exatamente 200 estojos receberam apenas uma etiqueta. Quantos estojos foram montados nesse dia?

  1. A
    220
  2. B
    230
  3. C
    260
  4. D
    290
  5. E
    310
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Resolução comentada

Resolução comentada

Cada caneta é azul ou vermelha. Se as três têm a mesma cor, o estojo recebe as 3 etiquetas (A, B e C). Se há duas de uma cor e uma da outra, exatamente um par tem cores iguais, então o estojo recebe só 1 etiqueta. Não existe estojo com exatamente 2 etiquetas: se 1=2 e 1=3, então 2=3 também.

Assim, há dois tipos de estojo:

  • tipo I: 3 etiquetas (A, B e C), x estojos;
  • tipo II: 1 etiqueta, e são 200 estojos.

Passos:

  1. Total de etiquetas: 120+150+200=470.
  2. Os estojos de uma etiqueta usam 200 etiquetas. Sobram 470-200=270 etiquetas para os estojos de três etiquetas.
  3. Então 3x=270, ou seja, x=90.
  4. Total de estojos: 200+90=290.

Conferência: os 90 estojos de tipo I dão 90 etiquetas de cada letra. Sobram 30 A, 60 B e 110 C, que somam 200, como pedido.

Alternativa D.

Pegadinha: Perceber que não existe estojo com exatamente duas etiquetas: quem conta 2 etiquetas para algum estojo erra o total.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem base na contagem; não corresponde a 200 + 90.
  • BNão leva em conta que estojos de três etiquetas usam 3 etiquetas cada.
  • CErra a quantidade de estojos com três etiquetas; 260 daria só 60 deles, mas 3·60 = 180, não 270.
  • ESupõe mais estojos de três etiquetas do que as 270 etiquetas restantes permitem.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗