Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2008

Question

A figura mostra quatro círculos de raio 1 cm dentro de um triângulo. Os pontos marcados são pontos de tangência. Qual é o comprimento do menor lado desse triângulo?

Triângulo contendo quatro círculos de mesmo raio tangentes entre si e aos lados do triângulo, com pontos pretos indicando as tangências: três círculos estão alinhados na base horizontal e um quarto círculo apoia-se sobre o segundo e o terceiro círculo, tangenciando também os lados inclinados do triângulo.

A
4 cm
B
3 + \sqrt{3}\text{ cm}
C
5 cm
D
3\sqrt{3}\text{ cm}
E
2 + 2\sqrt{3}\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

A figura mostra quatro círculos de raio 1 cm dentro de um triângulo. Os pontos marcados são pontos de tangência. Qual é o comprimento do menor lado desse triângulo?

Triângulo contendo quatro círculos de mesmo raio tangentes entre si e aos lados do triângulo, com pontos pretos indicando as tangências: três círculos estão alinhados na base horizontal e um quarto círculo apoia-se sobre o segundo e o terceiro círculo, tangenciando também os lados inclinados do triângulo.

A
4 cm
B
3 + \sqrt{3}\text{ cm}
C
5 cm
D
3\sqrt{3}\text{ cm}
E
2 + 2\sqrt{3}\text{ cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Triângulo ABC contendo quatro circunferências de mesmo raio tangentes à base BC. Três circunferências têm centros S, R e Q alinhados horizontalmente, e uma quarta circunferência tem centro P acima de R e Q, sendo tangente a ambas e ao lado AC. Segmentos ligam os centros S, R, Q e P. O lado AB tangencia a circunferência de centro Q no ponto T.]

Notamos primeiro que o triângulo PQR é equilátero de lado 2\text{ cm}. Como o segmento RS também mede 2\text{ cm}, o triângulo PRS é isósceles de base PS. O ângulo P\hat{R}S mede 120^\circ, pois ele é externo ao triângulo PRQ, igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes, cada um medindo 60^\circ. Logo cada um dos ângulos R\hat{S}P e R\hat{P}S mede 30^\circ, e concluímos que o triângulo PQS é retângulo em P, com P\hat{Q}S = 60^\circ e P\hat{S}Q = 30^\circ. Logo o triângulo ABC é retângulo em A com A\hat{B}C = 60^\circ e A\hat{C}B = 30^\circ, pois seus lados são paralelos aos do triângulo PQS. Além disso, seu menor lado é AB, oposto ao menor ângulo A\hat{C}B = 30^\circ.

Para calcular o comprimento do lado AB, basta calcular BT, pois claramente AT = 3\text{ cm}. Notamos que o triângulo QBT é retângulo em T. Como BQ é bissetriz de A\hat{B}C, segue que T\hat{B}Q = 30^\circ. Como QT = 1\text{ cm}, segue que BQ = 2\text{ cm}, e o teorema de Pitágoras nos dá

BT = \sqrt{QB^2 - QT^2} = \sqrt{3}\text{, donde } AB = 3 + \sqrt{3}\text{.}

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Resolução comentada

Chame os centros inferiores, da esquerda para a direita, de A, B e C, e o superior de D. Como os raios medem 1, temos AB=BC=BD=CD=2.

O triângulo BCD é equilátero, com altura \sqrt3. Assim, de A até D, o deslocamento horizontal é 3 e o vertical é \sqrt3. Logo, AD faz 30^\circ com a base, pois

\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}.

Uma tangente comum a dois círculos iguais é paralela à reta dos centros: os raios até as tangências são perpendiculares a ela. Portanto, o lado esquerdo é paralelo a AD, e o direito, a CD. Os ângulos do triângulo são, então, 30^\circ, 60^\circ e 90^\circ. O menor lado é o direito, oposto a 30^\circ.

Divida esse lado nos três trechos determinados pelas tangências:

Entre as duas tangências, o comprimento é CD=2.
Do vértice superior até a tangência, o comprimento é 1: o centro D pertence à bissetriz do ângulo reto, formando um triângulo de 45^\circ com raio 1.
Do vértice inferior até a tangência, o comprimento é \sqrt3: a bissetriz divide 60^\circ em 30^\circ, dando t=1/\tg30^\circ=\sqrt3.

Somando:

L=1+2+\sqrt3=3+\sqrt3\ \text{cm}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde a distância de 4 cm entre os centros extremos inferiores com um lado do triângulo.
CNão considera os comprimentos exatos dos trechos entre os vértices e as tangências.
DNão corresponde à soma dos três trechos que compõem o menor lado.
EAtribui o mesmo comprimento aos trechos próximos a vértices de ângulos diferentes.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗