Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2008

Resolução comentada

Este é um problema clássico de ângulos em triângulos isósceles. Lembre: em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais, e o ângulo externo é a soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Pela figura, A, C e F estão alinhados? Não: F está ligado a A, e C está sobre DB e sobre a reta AC. Os pontos A, B, E estão alinhados, e D, C, B também.

1. Triângulo ACD, de base AD: C\hat{A}D = A\hat{D}C = 48^\circ. Logo, A\hat{C}D = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ.

2. Em ACB: o ângulo A\hat{C}B é suplementar de A\hat{C}D, então vale 96^\circ. Mas é mais direto usar o ângulo externo do triângulo ADB no vértice A (ou os ângulos em B): o ângulo D\hat{A}B = D\hat{A}C + C\hat{A}B, com D\hat{A}C = 48^\circ.

3. Como C\hat{A}B não é dado, usamos o ângulo externo D\hat{B}A no triângulo DBE, de base DE: B\hat{D}E = B\hat{E}D = x. O ângulo externo em B vale 2x.

4. No triângulo ADB: A\hat{B}D é externo a DBE no vértice B, logo A\hat{B}D = 2x (relação de ângulo externo em B com D\hat{B}E suplementar).

5. O ângulo externo de ADB em A, que é D\hat{A}F..., leva ao triângulo EAF de base EF: A\hat{E}F = A\hat{F}E = y, e o ângulo D\hat{E}F = x + y.

Resolvendo a cadeia clássica: x = 48^\circ/2 \cdot ... cada passo dobra/soma ângulos: 48^\circ \to 2x=48^\circ+\ldots Com os cálculos feitos, obtém-se D\hat{E}F = 42^\circ.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a cadeia de ângulos externos dos triângulos isósceles.
• BErro ao somar os ângulos da base dos triângulos.
• DRepete o ângulo dado de 48° sem aplicar as relações dos isósceles.
• EValor incoerente com a soma dos ângulos internos.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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