Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2008

Question

A figura mostra as letras V e Z, ambas montadas com as mesmas duas peças de cartolina, uma branca e uma cinza, sem sobreposição. Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

Duas letras, Z e V, formadas pela junção de duas peças de cartolina: uma peça maior na cor branca e uma menor na cor cinza.

A
O V e o Z têm perímetros iguais e áreas iguais.
B
O V e o Z têm perímetros iguais, mas a área do Z é menor do que a do V.
C
O V e o Z têm perímetros iguais, mas a área do Z é maior do que a do V.
D
O V e o Z têm áreas iguais, mas o perímetro do Z é maior do que o do V.
E
O V e o Z têm áreas iguais, mas o perímetro do Z é menor do que o do V.

Answer 1

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Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2008

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra as letras V e Z, ambas montadas com as mesmas duas peças de cartolina, uma branca e uma cinza, sem sobreposição. Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

Duas letras, Z e V, formadas pela junção de duas peças de cartolina: uma peça maior na cor branca e uma menor na cor cinza.

A
O V e o Z têm perímetros iguais e áreas iguais.
B
O V e o Z têm perímetros iguais, mas a área do Z é menor do que a do V.
C
O V e o Z têm perímetros iguais, mas a área do Z é maior do que a do V.
D
O V e o Z têm áreas iguais, mas o perímetro do Z é maior do que o do V.
E
O V e o Z têm áreas iguais, mas o perímetro do Z é menor do que o do V.

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Desenho das letras Z e V formadas por uma peça branca e um quadrilátero cinza com vértices A, B, C e D. Na letra Z, a peça cinza conecta-se à branca pelo segmento AB. Na letra V, a peça cinza conecta-se à branca pelo segmento CD.]

As letras V e Z têm a mesma área porque são formadas com as mesmas peças de cartolina, logo podemos eliminar as opções (B) e (C). Para comparar os perímetros, notamos primeiro que em ambas as figuras o segmento AB é maior que o segmento CD. Ao juntar as peças para formar a letra Z, as peças branca e cinza se juntam ao longo de AB, e assim

\textit{perímetro do } \mathbf{Z} = \textit{perímetro da peça branca} + \textit{perímetro da peça cinza} - 2 \times (\textit{comprimento de } AB).

Do mesmo modo, vemos que

\textit{perímetro do } \mathbf{V} = \textit{perímetro da peça branca} + \textit{perímetro da peça cinza} - 2 \times (\textit{comprimento de } CD),

donde concluímos que o perímetro do Z é menor que o perímetro do V.

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Resolução comentada

As duas letras são montadas com as mesmas duas peças, sem sobreposição. Por isso, a área de cada letra é a soma das áreas das duas peças, e as áreas são iguais.

O perímetro é diferente, porque depende de quanto do contorno das peças fica escondido no encaixe. Quando as peças se juntam, o trecho da junção deixa de fazer parte do contorno externo.

Perímetro da letra = perímetro da peça branca + perímetro da peça cinza − 2 × (comprimento da junção).
No Z, a peça cinza encosta na branca por um lado inclinado, que é o lado mais comprido do pedaço cinza (o trapézio apoiado na base).
No V, a peça cinza encosta na branca por um lado reto, mais curto, na ponta do braço.

Como a junção do Z é maior que a do V, o Z perde mais contorno, e o perímetro do Z é menor que o do V.

Conclusão: as áreas são iguais, mas o perímetro do Z é menor que o do V.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana ao sugerir que peças iguais dão perímetros iguais, mas só a área se conserva.

Por que as outras alternativas estão erradas

AAcerta a área, mas ignora que o comprimento da junção muda o perímetro.
BAfirma perímetros iguais e áreas diferentes, mas as áreas são iguais pois as peças são as mesmas.
CTambém supõe áreas diferentes e perímetros iguais, o contrário do que ocorre.
DAcerta as áreas iguais, mas inverte a comparação: o Z tem a junção maior e, portanto, perímetro menor.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 14 no caderno Nível 1 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 1. Prova oficial ↗