Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2008

Question

Observe que no tabuleiro 4 \times 4 as duas diagonais cortam 8 quadradinhos. Já no tabuleiro 5 \times 5, as duas diagonais cortam 9 quadradinhos. Em qual tabuleiro as diagonais cortam 77 quadradinhos?

Dois tabuleiros quadriculados com linhas diagonais tracejadas cruzando os cantos opostos: o primeiro, de dimensão 4 por 4, tem as diagonais se interceptando em um vértice da grade; o segundo, de dimensão 5 por 5, tem as diagonais se interceptando no centro do quadrado do meio. Abaixo deles lê-se "4 x 4" e "5 x 5".

A
35 \times 35
B
36 \times 36
C
37 \times 37
D
38 \times 38
E
39 \times 39

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2008

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Observe que no tabuleiro 4 \times 4 as duas diagonais cortam 8 quadradinhos. Já no tabuleiro 5 \times 5, as duas diagonais cortam 9 quadradinhos. Em qual tabuleiro as diagonais cortam 77 quadradinhos?

Dois tabuleiros quadriculados com linhas diagonais tracejadas cruzando os cantos opostos: o primeiro, de dimensão 4 por 4, tem as diagonais se interceptando em um vértice da grade; o segundo, de dimensão 5 por 5, tem as diagonais se interceptando no centro do quadrado do meio. Abaixo deles lê-se "4 x 4" e "5 x 5".

A
35 \times 35
B
36 \times 36
C
37 \times 37
D
38 \times 38
E
39 \times 39

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Num tabuleiro quadrado n \times n, cada diagonal corta n quadradinhos. Por causa da simetria dos tabuleiros quadrados, temos dois casos:

(i) se n é par (por exemplo, no tabuleiro 4 \times 4) as duas diagonais se cortam num vértice (o vértice central). Nesse caso as duas diagonais cortam exatamente n + n = 2n quadradinhos.

(ii) se n é ímpar (por exemplo, no tabuleiro 5 \times 5) as duas diagonais se cortam no centro de um quadradinho (o quadradinho central). Nesse caso o quadradinho central é cortado duas vezes, uma por cada diagonal. Logo, as duas diagonais cortam no total n + n - 1 = 2n - 1 quadradinhos.

Se o número de quadradinhos cortados pelas diagonais em um tabuleiro n \times n é 77, temos duas possibilidades. A primeira é n par, mas aqui teríamos 77 = 2n, o que não pode acontecer pois 77 é ímpar. Resta então a possibilidade n ímpar, quando temos 77 = 2n - 1. Logo n = 39 e o nosso tabuleiro é 39 \times 39.

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Resolução comentada

Cada diagonal corta exatamente um quadradinho por linha. Num tabuleiro n \times n, uma diagonal corta n quadradinhos, e as duas juntas cortam 2n, se não houver quadradinho em comum.

Os dois casos da figura mostram isso:

Se n é par (como 4 \times 4), as diagonais se cruzam num vértice da grade, não há quadradinho repetido e o total é 2n. Conferindo: 2 \cdot 4 = 8.
Se n é ímpar (como 5 \times 5), as diagonais se cruzam no centro do quadradinho do meio, que foi contado duas vezes. O total é 2n - 1. Conferindo: 2 \cdot 5 - 1 = 9.

Como 77 é ímpar e 2n é sempre par, o tabuleiro tem n ímpar:

2n - 1 = 77
2n = 78
n = 39

Verificação: 39 é ímpar, então a fórmula 2n-1 vale, e 2 \cdot 39 - 1 = 77. O tabuleiro é 39 \times 39.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem usa 2n (ignora o quadradinho central em comum) ou arredonda 77/2; o tabuleiro de lado par daria 76.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma fórmula; com n=35 as diagonais cortam 69 quadradinhos.
BUsa n par, mas então o total seria 72, e não 77 (que é ímpar).
CCom n=37 o total seria 2\cdot 37-1=73.
DCom n=38 (par) o total seria 76, pois seria 2n; ficou perto de 77 mas não chega.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 15 no caderno Nível 1 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 1. Prova oficial ↗