Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2008

Question

Os 535 alunos e os professores de uma escola fizeram um passeio de ônibus. Os ônibus, com capacidade para 46 passageiros cada, ficaram lotados. Em cada ônibus havia um ou dois professores. Em quantos ônibus havia dois professores?

A
3
B
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C
6
D
8
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2008

Nível 2 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Os 535 alunos e os professores de uma escola fizeram um passeio de ônibus. Os ônibus, com capacidade para 46 passageiros cada, ficaram lotados. Em cada ônibus havia um ou dois professores. Em quantos ônibus havia dois professores?

A
3
B
5
C
6
D
8
E
9

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como 535 = 11 \times 46 + 29, vemos que 11 ônibus são insuficientes para o passeio. Por outro lado, de 13 \times 46 = 598 vemos que se o número de ônibus fosse maior ou igual a 13 o número de professores seria no mínimo 598 - 535 = 63, o que não é possível pois em cada ônibus há no máximo 2 professores. Logo o passeio foi feito com 12 ônibus e o número de professores é 12 \times 46 - 535 = 17. Como cada ônibus tem 1 ou 2 professores e 17 dividido por 12 tem quociente 1 e resto 5, concluímos que o número de ônibus com 2 professores é 5.

Outra solução: Sejam x o número de ônibus com 1 professor (nesses ônibus há 45 alunos) e y o número de ônibus com 2 professores (nesses ônibus há 44 alunos). Logo, 45x+44y=535. Para resolver essa equação, observe que como x e y são inteiros positivos, y tem que ser um múltiplo de 5 menor que 15 (porque 15 \times 44 > 535), isto é, y vale 5 ou 10. Substituindo esses valores na equação, obtemos y = 5.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Seja n o número de ônibus. Todos ficaram lotados, então o total de pessoas (alunos + professores) é 46n. Como cada ônibus tem 1 ou 2 professores, o número de professores está entre n e 2n.

O total de pessoas é 535 + p, onde p é o número de professores, com n \le p \le 2n.

Sendo 46n = 535 + p, temos 46n \ge 535 + n, ou seja, 45n \ge 535, logo n \ge 11{,}9.
Também 46n \le 535 + 2n, ou seja, 44n \le 535, logo n \le 12{,}16.
Então n = 12.

Com n=12: total de pessoas = 46 \cdot 12 = 552. Professores: p = 552 - 535 = 17.

Se x ônibus têm 2 professores, os outros 12 - x têm 1:

2x + (12 - x) = 17 \Rightarrow x + 12 = 17 \Rightarrow x = 5.

Conferindo: 5 ônibus com 2 professores (10) e 7 com 1 (7) dão 17 professores, e 535 + 17 = 552 = 12\cdot 46.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão satisfaz 2x+(12-x)=17; daria só 15 professores.
CDaria 18 professores, e 535+18=553 não é 552.
DDaria 20 professores, total de 555, que não corresponde a ônibus lotados.
EDaria 21 professores, total de 556, incompatível com 12\cdot46=552.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 13 no caderno Nível 2 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 2. Prova oficial ↗